Page 193 - vol1
P. 193
Megoldás: Minden király legalább 4 mezőt ural. A király
által uralt mezők száma akkor pontosan 4, ha a király a
sakktábla négy csúcsának valamelyikén helyezkedik el
(ellenkező esetben a király több mint 4 mezőt ural).
Bontsuk fel a táblát 16 darab 2 х 2-es négyzetre.
Következik, hogy nem lehetséges, 16-nál több királyt
elhelyezni a feladat feltételei szerint mivel 2 király nem
lehet egy és ugyanazon a 2 х 2-es négyzeten. Egy példa a 16 király elhelyezésére.
20. feladat: Adottak az 1, 2, 3, …, 8, 9 számok. Kiválasztunk közülük 5-öt.
Igazoljuk, hogy ezek között mindig van 2, amelyek relatív prímek!
Megoldás: Ha az 1 is a kiválasztott, akkor az mindegyikkel relatív prím, tehát a
feladatot megoldottuk. Feltételezzük, hogy az 1-et nem választottuk ki. Ekkor
képezzük a következő 4 skatulyát:
Ekkor a skatulyaelv alapján, a kiválasztott 5 szám közül biztosan lesz 2 amelyik
ugyanabba a skatulyába kerül, vagyis éppen relatív prímek.
21. feladat: Adottak az 1, 4, 7, …, 97, 100 számok. Kiválasztunk közülük 19-et.
Igazoljuk, hogy ezek között mindig van 2, amelyek összege 104!
Megoldás: Az előbbi sorozatnak (100-1):3= 33 tagja van. Ekkor képezzük a
következő 17 skatulyát:
Ekkor a skatulyaelv alapján, a kiválasztott 19 szám közül biztosan lesz 2 amelyik
ugyanabba a skatulyába kerül, vagyis az összegük éppen 104.
22. feladat: Mutasd meg, hogy 7 egész szám között mindig van 2, amelyeknek
az összege vagy a különbsége osztható 11-gyel.
Megoldás: A 11-gyel való osztási maradékokat csoportosítsuk így:
Ezért a 7 szám közül 6 csoport valamelyikébe 2 kerül. Ha ennek a két számnak
ugyanaz a végződése akkor különbségük osztható 11-gyel, ha nem, akkor az
összegük osztható 11-gyel.
193
