Page 190 - vol1

Megoldás: Nézzük a kőtömbök össztömegét: 370+ 372+ 374+…+ 466 =
= 370+(370+2)+(370+4)+…+(370+98)= 50×370+2×(1+2+3+…+49)= 20950

Látszatra úgy tűnik, hogy elszállítható, hiszen 20950 < 21 000, de a kőtömbök
tömegei 2 kg-mal változnak. Ha homok lenne, biztosan elszállítható lenne! Mivel
50 kőtömb van és 7 teherautó, a skatulyaelv alapján 50=7×7+1 miatt éppen 8
fuvar szükséges, és a legkisebb nyolc kőtömb össztömege:
370+372+374+376+378+380+382+384= 3016 kg > 3000 kg, vagyis nem férne fel
a 3000 kg-os teherautóra.

9. feladat: 50 pont van bejelölve egy 7 cm oldalhosszúságú négyzeten.
Bizonyítsuk be, hogy a pontok közül legalább 2 lefedhető egy 1 cm
oldalhosszúságú négyzettel!
Megoldás: Osszuk fel az eredeti négyzetet 49 darab 1 cm
oldalhosszúságú négyzetre! A skatulya-elv alapján legalább 2
pont, az egyik 1 cm oldalhosszúságú négyzetbe fog esni.

10. feladat: Egy 7×7-es négyzetet 49 kisnégyzetre osztunk, és a kisnégyzetek
közül 43-t szeretnénk kékre festeni úgy, hogy sem egy 1×7-es sor sem egy
7×1-es oszlopban ne legyen teljesen kék. Lehetséges-e ez a színezés?

Megoldás: A színezés nyomán minden sorban illetve minden
oszlopban kell legyen 1-1 nem színezett kisnégyzet, ez összesen
7 négyzet. Tehát legtöbb 7×7-7= 42 színezett négyzet lehet,
ellenben nekünk 43 darab van, így egy sorban vagy oszlopban
biztosan mindegyik kisnégyzet festett lesz, ellentmondás.

11. feladat: Az egység oldalú négyzetben adott 51 pont. Igazoljuk, hogy van
közöttük 3 olyan, amelyek egy 1/7 sugarú körben vannak.

Megoldás: Osszuk fel a négyzetet 5×5= 25 egybevágó kis négyzetre. Mivel
51=25×2+1 ezért a skatulya elv alapján létezik 3 olyan pont amelyik ugyanabba
1 1 2
a kisnégyzetbe esik, amelynek az oldala 1/5 és az átlója 2 . Ha 2 
5 5 7
1 1 2


akkor a négyzet lefedhető egy sugarú körrel. De 2   49 2 100.
7 5 7
12. feladat: Egy szabályos háromszög alakú céltábla oldala 1m. A céltáblát 10
lövés érte. Igazoljuk, hogy van 2 olyan találat, amelyek 34 cm-nél közelebb

190