Page 188 - vol1

Nézzük most is a legrosszabb esetet, vagyis amikor mind egyszínű
golyókat húzunk ki: ez legtöbbszőt 15-szőr fordulhat elő. így a 16. húzásnál
biztosan másszínű (piros) golyót húzunk ki a meglévő 15 (zöld) mellé és a
következő húzásunk is biztosan ugyanilyen színű (piros), tehát a válaszunk
15+2=17.
A továbbiakban megoldott feladatokat sorakoztatunk fel, rávilágítva
arra, hogy nem mindig ilyen egyszerű a skatulyák és a tárgyak megválasztása,
nagyon sok esetben sokkal nehezebbek is lehetnek a feladatok, mint a
bemutatott példák.

1. feladat: Bizonyítsuk be, hogy bármely 5 egész szám között van 3, amelynek az
összege osztható 3-mal.
Megoldás: Most 3 skatulyánk van és
5 számunk. Ha mindegyik
skatulyában van 1-1 szám, akkor
ennek a 3-nak az összege osztható
3-mal.Ha nincs mind a 3 skatulyából, akkor az 5 szám közül legalább 3 ugyanabba
a skatulyában van, tehát ennek a háromnak az összege osztható 3-mal.

2. feladat: Adott 5 természetes szám. Bizonyítsuk be, hogy a számok közti
különbségek közül legalább egy osztható 4-gyel!

Megoldás: A lehetséges maradékok 4-gyel való osztás esetén 0, 1, 2 és 3.
Tekintsünk 4 fiókot, hozzárendelve egy-egy osztási maradékhoz. A skatulya-
elvből következik, hogy legalább 2 szám ugyanabba a fiókba fog kerülni. Mivel
ezek 4-gyel való osztási maradéka megegyezik, a különbségük osztható lesz
4-gyel és így kész is a megoldás.

3. feladat: Egy dobozban 100 golyó van, 28 piros, 20 zöld, 20 kék, 12 sárga, 10
fehér, 10 fekete. Legkevesebb hány golyót kell kivenni ahhoz, hogy biztosan
legyen közöttük 10 egyszínű?

Megoldás: Nézzük a
legkedvezőtlenebb esetet vagyis
azt, amikor mindegyikből éppen 9
lesz, az még nem felel meg:

Tehát a skatulya elv alapján: 6×9+1= 55 golyót kell kivennünk!

188