Page 195 - vol1

elemei. Így a skatulyaelv alapján aa, bb, cc, dd számok közül biztosan létezik 2,
amely ugyanazzal a számmal egyenlő, vagyis különbségük nulla.

27. feladat: Legyenek az a, b, c, d, e, f és g az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számok
permutációi. Igazoljuk, hogy az (a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)(f-6)(g-7) páros szám!

Megoldás: Feltételezzük az ellenkezőjét: vagyis, hogy a szorzat páratlan, így
mindegyik szorzótényezője páratlan. Tehát a-1, c-3, e-5, g-7 mind páratlanok,
ezért a, c, e, g is mind párosok lesznek, de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 között a párosok csak
2, 4, 6 ami absurdum.

28. feladat: Egy osztályteremben 15 asztal van és minden asztal mellett két szék.
22 diák van jelen a matematika órán. Bizonyítsuk be, hogy legalább 7 asztalnál
párosan ülnek a diákok!

Megoldás: Most az asztalok a fiókok, amik korlátozottak, mivel legfeljebb kettő
diák ülhet egy asztalnál. Ha minden asztalnál csak egy diák foglal helyet, akkor a
visszamaradó 7 diáknak (22 – 15 = 7) 7 asztalhoz kell ülnie, így 7 asztalnál fognak
párosan ülni.

29. feladat: 193 szúnyog ül egy téglalap alakú, 3 m × 2 m kiterjedésű füves
területen. Meg lehet-e ölni egyszerre legalább 3 szúnyogot egy 25 cm × 25 cm-
es lapáttal?

Megoldás: A válasz igen. Elegendő a területet 96 darab 25 cm × 25 cm-es
négyzetre osztani. A skatulya-elv alapján az egyik ilyen négyzeten legalább 3
szúnyog fog ülni. Ezután már csak pontosan el kell eltalálni azt a négyzetet.
30. feladat: Legyenek az a, b, c és d számok egész számok. Bizonyítsuk be,
hogy a következő szorzat: (b – a)(c – a)(d – a)(c – b)(d – b)(d – c) osztható
12-vel.

Megoldás: A skatulya-elv értelmében a négy szám közül legalább kettőnek
megegyezik a 3-mal való osztási maradékaik. Így a különbségük 3 többszöröse.
Ezután vagy legalább 3 szám azonos paritású, és ebben az esetben 3 különbség
páros, vagy a 4 szám olyan, hogy közülük kettő páros és kettő páratlan.

31. feladat: Az egység sugarú körlapon elhelyeztünk 7 pontot. Igazoljuk, hogy
van közöttük 2, amelyek távolsága nem nagyobb 1-nél.

195