Page 191 - vol1

vannak egymáshoz.

Megoldás: Osszuk fel a háromszög oldalait 3-3 egyenlő
részre, és párhuzamosokkal kössük össze ezeket a
pontokat. Így az eredeti szabályos háromszöget 9
kongruens szabályos háromszögre osztottuk amelyeknek
az oldalhossza 33 1/3 cm. Mivel 10 találat van és csak 9
„skatulya” ezért létezik olyan kisháromszög, amelybe 2 találat került, és ezek
legtávolabb egymástól 33 1/3 cm-re kerülhetnek, tehát a távolságuk kisebb mint
34 cm.

13. feladat: Egy téglalap méretei 6 és 9 egység. Ha a téglalapot felbontjuk 10
darab egész oldalhosszúságú téglalapra, akkor igazoljuk, hogy ezek között van 2
egyenlő területű!

Megoldás: Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy
a 10 darab téglalap mind különböző területű (egész
szám). Ekkor ezek az összterülete nagyobb mint :
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55. De a nagytéglalap
területe 6×9=54< 55, ezért ellentmondáshoz
jutottunk. A skatulya elvnek ez a változata az úgynevezett INDIREKT bizonyítás.

14. feladat: Helyezzük el az 1-től 9-ig a számjegyeket
tetszőleges sorrendben egy kör mentén. Bizonyítsuk be,
hogy bármely sorrend esetén lesz a kör mentén három
egymást követő szám, amelyek összege nagyobb, vagy
egyenlő 15-tel.
Megoldás: Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy
bármely egymást követő 3 szám összege < 14-nél. Tehát mind a 3 egymásutáni
3-as csoport < 14, ezért az összegük KISEBB mint 3×14=42. De most írjuk fel a 3
darab EGYMÁS UTÁNI 3-as csoport összegét, ez éppen: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=
=45. Mivel 42 < 45, ezért ellentmondáshoz jutottunk, hiszen ugyanarról az
összegről van szó. Ez is a skatulya elvnek az indirekt formája volt!
15. feladat: Az egység sugarú kör kerületén elhelyeztünk 5
pontot. Igazoljuk, hogy van közöttük 2, amelyek távolsága
nem nagyobb 2 -nél.
Megoldás: Osszuk a kör kerületét 4 egyenlő részre. Így 4
körívünk lesz, és 5 pont, ezért a skatulya elv alapján létezik 2

191