Page 194 - vol1

23. feladat: Az 1, 2, 3, …, 20 számok közül kiválasztunk 11-et. Mutassuk ki, hogy
a kiválasztott számok között mindig van 2, amely közül egyik a másiknak az
osztója!

Megoldás: Az 1, 2, 3, …, 20 számokat besoroljuk 10 csoportba amelyekre igaz,
hogy ha valamelyik csoportból veszünk 2 számot, akkor az egyik a másiknak az
osztója:
{1, 2, 4, 8, 16}, {3, 6, 121}, {5, 10, 20}, {7, 14}, {9, 18}, {11}, {13}, {15}, {17}, {19}.

Mivel 11 számunk és 10 osztályunk van, ezért létezik 2 a kért tulajdonsággal.

24. feladat: Adott egy 3×3-as, 9 egység-négyzetből álló négyzet. Minden egység-
négyzetbe a következő számok egyikét írjuk: -1, 0, vagy 1. Bizonyítsuk be, hogy
a sorok, oszlopok és átlók összegei között van két egyenlő!

Megoldás: A sorok száma 3, az oszlopok száma szintén 3, és az átlók száma
2.Így összesen 8 összegünk van. Másrészről a -1, 0, 1 számokból képezhető
lehetséges összegek száma 7. A lehetséges összegek: -3, -2, -1, 0, 1, 2 vagy 3.
Tekintsünk 7, egy-egy lehetséges összegnek megfelelő fiókot! A skatulya-elvből
következik, hogy a sorok, oszlopok és átlók összesen 8 összegei közül legalább 2
egyenlő.

25. feladat: Adott egy 100×100-as, négyzet. Ennek minden mezőjébe beírjuk az
1, 2, 3 számok valamelyikét. Bizonyítsuk be, hogy a sorok, oszlopok és átlók
összegei között van két egyenlő!

Megoldás: A sorok száma 100, az oszlopok száma szintén 100, és az átlók száma
2. Így összesen 202 összegünk van. Másrészről az 1, 2, 3 számokból képezhető
lehetséges összegek legkisebb értéke 100 (100×1) és a legnagyobb pedig 300
(100×3).A 100 és 300 között pontosan 300-100+1=201 szám van. A skatulyaelv
alapján 202> 201, ezért létezik két egyforma összeg.

26. feladat: Igazoljuk, hogy bármely a, b, c, d egész szám esetén az

kifejezés osztható 7-tel!

Megoldás: Egy x egész számnak a 7-tel való osztási maradékai
a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz elemei. Az xx-nek a 7-tel való osztási maradékai a {0,
1, 2, 3, 4} halmaz elemei. Ha az a, b, c, d számok valamelyike osztható 7-tel, akkor
nyilván E is osztható 7-tel. Más esetekben aa, bb, cc, dd az {1, 2, 4} halmaz

194