Page 192 - vol1
P. 192
pont amelyik ugyanarra a negyed körívre jut, De ekkor a távolságuk nem
nagyobb mint 2 .
16. feladat: Az egység sugarú kör kerületén elhelyeztünk 4 pontot. Igazoljuk,
hogy van közöttük 2, amelyek távolsága nem nagyobb 2 -nél.
Megoldás: Rögzítsük a kör kerületén az egyik pontot, és így
osszuk a kör kerületét 4 egyenlő részre. Így 4 körívünk lesz, és
még 3 pont. Amennyiben valamelyik pont az 1. vagy 4. körívre
jutnának, a feladat megoldott. De ha egy sem jut ezekbe,
akkor van 3 pontunk és 2 másik körív. Ezért a skatulya elv
alapján valamelyikre 2 pont kerül, és ekkor megint megoldottuk a feladatot.
17. feladat: Tekintsünk a gömb felületén 5 pontot. Igazoljuk, hogy létezik olyan
félgömb – a határoló felületeket is beleértve – amelyik tartalmaz az 5 pont közül
4 pontot!
Megoldás: Rajzoljunk meg egy olyan „nagykört” amelyik
átmegy az 5 pont közül 2 ponton. Ez a nagykör egy FELSŐ és
egy ALSÓ félgömböt határoz meg. A skatulyaelv alapján, a
többi 3 pont közül biztosan 2 vagy a felső, vagy az alsó
félgömbön van. Legyen pl. a felsőn. Ekkor a felső félgömbön
(a határfelületeket is beleértve), éppen 4 pont lesz.
18. feladat: Rajzoljunk meg a síkban 4 különböző egyenest, ezek a síkot diszjunkt
tartományokra osztják. Igazoljuk, hogy bárhogyan veszünk fel 12 pontot az
egyeneseken kívül, mindig lesz 2 olyan pont, amely ugyanabban a
síktartományban vannak.
Megoldás: A legtöbb síktartományt akkor kapjuk, ha
az egyenesek teljesen általános viszonyúak. Egy ilyen
helyzet a mellékelt ábrán látható. Ezek a síkot a
legtöbb, 11 diszjunkt tartományra osztják. Mivel 12
pontunk van, ezért valamelyik tartományban van 2
pont.
19. feladat: Határozzuk meg a királyok számának lehetséges legnagyobb számát
egy közönséges sakktáblán úgy, hogy egyik sem üt egyetlen másik királyt sem.
192
