Page 151 - vol1

Belátható, hogy valóban Ven-diagramok, mert n= 1, 2, 3 eseteben a síkot rendre
1
2
3
2 , 2 , 2 tartományra (atomra) bontják. Ezután azzal próbálkoztak, hogy n= 4
körrel is ilyen Ven-diagramot szerkesszenek, amelyik tehát a síkot 2 = 16
4
részre ossza. Megrajzolták tehát azt a 4 kört tartalmazó halmazábrát, ahol a
tartományok száma a legnagyobb, ez így néz ki:

Meglepődve látjuk, hogy nincs meg a 16 tartomány, hiányzik 2
tartomány, és a köröket nem lehet úgy elhelyezni, hogy ennél több tartomány
keletkezzen, mert már maximális számú pontban metszik egymást. Valóban,
hiányzik az a 2 tartomány amely a két-két átlósan elhelyezkedő körnek éppen az
a tartománya amelyik csak a két körnek a közös része, vagyis a BD és az AC
tartományok. Ennek láttán még Venn idejében felmerült az a kérdés, hogy vajon
n> 3 darab körrel, szerkeszthető-e Venn-diagram? Mielőtt erre válaszolnánk,
nézzük a következő segédfeladatot:
2. segédfeladat: Adott n kör a síkot legfeljebb n − 2 n + 2 részre osztja.

Bizonyítás: Az állítást a matematikai indukció módszerével bizonyítjuk. Az n= 1
kör esetén a már bemutatott ábra
szerint az 1 kör a síkot
2 = 2 1 − 1 2 részre osztja,
=
+
2
1
továbbá 2 kör éppen
2
+
2
2 = 4 2 − 2 2 részre, 3 kör pedig
=
2 = 8 3 − 3 2 részre. Jelöljük
+
=
2
3
t -el az n kör esetén keletkezett
n
maximális tartományok számát. Ekkor
feltételezzük, hogy k kör a síkot

151