Page 150 - vol1

Először is nézzük meg, hogy a Venn-diagramban miért is van az, hogy a
n
tartományok (atomok) száma éppen 2 , hiszen esetenként ez lehet kevesebb
vagy éppen több is.

1. segédfeladat: Egy n elemű halmaz összes részhalmazainak a száma
n
pontosan 2 -nel egyenlő!
Bizonyítás: Tekintsük az A =  ,a a 2 , ,...a n  halmazt, amelynek n eleme van.
a
1
3
A 0 elemű halmazból (az üres halmazból) 1 C= n 0 darab van. Az 1 elemű
halmazokból éppen n C= 1 darab van, a 2 elemű halmazokból C darab, a 3
2
n n
3
eleműekből C darab van, és így tovább, az n-1 eleműekből C n− 1 , továbbá az n
n n
=
n
eleműből 1 C . Ezért tehát az összes részhalmazok száma
n
2
n
+
n
1
0
C + C + C + ... C n n− 1 + C ami éppen az (1 1)+ n = 2 kifejtése a Newton
n
n
n
n
binomiális képlettel.
Tehát a Ven-diagrammok azok az Euler-diagramok, amelyeknél minden X
i
, X  X , X  i X  j X , …, X  X  X 3 ... X tartomány létezik, és
k
1
2
j
i
k
n
az előző segédfeladat alapján ezen tartományok száma éppen 2 .
Már Euler és Venn idejében is felmerült a kérdés, hogyan is lehet különféle
alakzatokkal Venn-diagramokat szerkeszteni, különböző számú alakzatok
esetén. Leghamarabb a körrel próbálkoztak, n=1, n=2, n=3 esetekben. Íme az így
kapott Venn-diagramok:

150