Page 155 - vol1

+
=
+
+
+
+
2
t  + 6(1 2 3 ... (n− 1)) 2 6 (n− 1) 3n − 3n+ .
=
n
t
2
1
n
8
7. segédfeladat: Igazoljuk, hogy minden n  természetes számra
2
n
2  3n − 3n+ .
2
Bizonyítás: Ezúttal is teljes indukcióval bizonyítunk. Az n= 8 esetén
=
=


256 2  3 8 − 3 8 2 170 igaz. Feltételezzük, hogy 2  3k − 3k + is
+
2
8
k
2
2
+
2
igaz, és bizonyítjuk, hogy 2 k+ 1  3(k + 1) − 3(k + 1) 2is igaz. Valóban, a
2
feltételből kiindulva kapjuk, hogy 2 k+ 1  2(3k − 3k + 2), így elegendő
ellenőrizni, hogy 2(3k − 3k + 2) 3(k + 1) − 3(k + 1) 2 ami azt jelenti, hogy

2
+
2
3 (k − 3) 2 0 ami nyilvánvalóan igaz mert k  .

+
8
k
Most tehát megfogalmazhatjuk a háromszögekkel kapcsolatos
eredményünket:
3. Tétel: Csupa háromszögekből álló Venn-diagram nem tartalmazhat
hétnél több háromszöget.
8
Bizonyítás: Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy n  háromszög esetén
is tudunk szerkeszteni csupa háromszögekből álló Venn diagramot. Ezek tehát a
n
síkot 2 részre osztják. Másfelől az 6. segédfeladat alapján az n háromszög a
síkot legfeljebb 3n − 2 3n + 2részre osztja. Ez azt jelentené, hogy
2 = 3n − 3n+ valamilyen n  esetén, ez azonban ellentmond az 7.
n
2
2
8
segédfeladat állításának. Tehát csupa háromszögekből álló Venn diagrammot

csakis n 1,2,3,4,5,6 esetén lehet szerkeszteni, az n= 7 felső határ nem
érhető el. A többi elérhető, ábrák a dolgozat végén.
Most már, hogy láttuk a kör, ellipszis, háromszög esetét természetesen
merül fel a kérdés, hogy egyre nagyobb n esetén, milyen alakzatokkal
szerkeszthetők Venn-diagramok?
Mivel 2 háromszög legfeljebb 6 pontban metszik egymást, és mivel 2
négyszög (akár konvex, akár konkáv) legfeljebb 8 pontban metszik egymást,
ezért megfogalmazhatók:
8. segédfeladat: Adott n négyszög a síkot legfeljebb 2(2n − 2 2n+ 1)
részre osztja.

155