Page 156 - vol1

Bizonyítás: Teljesen követhető a 2. 4. és a 6. segédfeladat bizonyítása, ahol a
módosítások a következők:t k+ 1  t + k 8k , ahonnan

+
=
+
+
+
+
=
t  + 8(1 2 3 ... (n − 1)) 2 4 (n − 1) 2(2n − 2n + 1) .
2
n
t
n
1
8
9. segédfeladat: Igazoljuk, hogy minden n  természetes számra
2 n− 1  2n − 2n+ 1.
2
Bizonyítás: Ezúttal is teljes indukcióval bizonyítunk. Az n= 8 esetén

=
+

=
128 2  2 8 − 2 8 1 113igaz. Feltételezzük, hogy 2 k− 1  2k − 2k + 1 is
2
7
2
+
2
igaz, és bizonyítjuk, hogy 2 k+ 1  2(k + 1) − 2(k + 1) 1is igaz. Valóban, a
feltételből kiindulva kapjuk, hogy 2  2(2k − 2k + 1) , így elegendő
2
k
+

2
2
ellenőrizni, hogy 2(2k − 2k + 1) 2(k + 1) − 2(k + 1) 1 ami azt jelenti, hogy

2 (k − 3) 1 0 ami nyilvánvalóan igaz, mert k  .
+
8
k
4. Tétel: Csupa négyszögekből álló Venn-diagram nem tartalmazhat
hétnél több négyszöget.
8
Bizonyítás: Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy n  négyszög esetén is
tudunk szerkeszteni csupa négyszögekből álló Venn-diagramot. Ezek tehát a
n
síkot 2 részre osztják. Másfelől az 8. segédfeladat alapján az n négyszög a síkot
legfeljebb 2(2n − 2 2n+ 1) részre osztja. Ez azt jelentené, hogy
2
2 n− 1 = 2n − 2n+ 1 valamilyen n  esetén, ez azonban ellentmond az 9.
8
segédfeladat állításának. Tehát csupa négyszögekből álló Venn-diagrammot

csakis n 1,2,3,4,5,6,7 esetén lehet szerkeszteni. A felső határ el is érhető
Az előzőekben láttuk, hogy a fontosabb elemi alakzatokkal milyen
esetekben szerkeszthetők Ven-diagramok. természetesen merül fel az a kérdés,
hogy ezen alakzatokon kívül (amelyeknek megvannak a maga korlátai), milyen
alakzatokkal tudnánk olyan Venn-diagramot szerkeszteni, amikor a szerkesztési
menet öröklődik? Erre nem könnyű a válasz, de beidézzük két matematikus
munkáját:
1) Anthony William Fairbank Edwards konstrukcióit láthatjuk az
alábbiakban, ahol a teniszlabda varrásaihoz hasonló vonalvezetésekkel
találkozunk:

156