Page 154 - vol1

Bizonyítás: Teljesen követhető a 2. segédfeladat bizonyítása, ahol a módosítások
a következők: t  t + 4k , ahonnan
k+ 1 k
+
+
=
+
t  + 4(1 2 3 ... (n− 1)) 2 2 (n− 1) 2(n − + 1).
+
+
=
2
t
n
n
1
n
6
5. segédfeladat: Igazoljuk, hogy minden n  természetes számra
2
2 n− 1  n − + 1.
n
Bizonyítás: Ezúttal is teljes indukcióval bizonyítunk. Az n= 6 esetén
=
2
2
+
5
=
32 2  6 − 6 1 31igaz. Feltételezzük, hogy 2 k− 1  k − + 1 is igaz, és
k
+
2
bizonyítjuk, hogy 2 k+ 1  (k + 1) − (k + 1) 2is igaz. Valóban, a feltételből
kiindulva kapjuk, hogy 2  2(k − + 1), így elegendő ellenőrizni, hogy
k
2
k

+
2(k − + 1) (k + 1) − (k + 1) 1 ami azt jelenti, hogy (k k − 3) 1 0 ami

2
+
2
k
6
igaz mert k  .
Most tehát megfogalmazhatjuk az ellipszisekkel kapcsolatos
eredményünket:
2. Tétel: Csupa ellipszisekből álló Venn-diagram nem tartalmazhat
ötnél több ellipszist.
6
Bizonyítás: Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy n  ellipszis esetén is
tudunk szerkeszteni csupa ellipszisekből álló Venn diagramot. Ezek tehát a síkot
n
2 részre osztják. Másfelől az 4. segédfeladat alapján az n ellipszis a síkot
legfeljebb 2(n − 2 n + 1) részre osztja. Ez azt jelentené, hogy 2 = 2(n − + 1) ,
2
n
n
6
2
vagyis 2 n− 1 = n − + 1valamilyen n  esetén, ez azonban ellentmond az 5.
n
segédfeladat állításának. Tehát csupa ellipszisekből álló Venn diagrammot csakis

n 1,2,3,4,5 esetén lehet szerkeszteni, és ezek meg is szerkeszthetők.
Megfigyelve, hogy két ellipszis legfeljebb 4 pontban metszi egymást,
mivel két háromszög legfeljebb 6 pontban metszi egymást ezért nézzünk
háromszögekből álló Venn-diagramokat is:
6. segédfeladat: Adott n háromszög a síkot legfeljebb 3n − 2 3n + 2 részre
osztja.
Bizonyítás: Teljesen követhető a 2. és 4. segédfeladat bizonyítása, ahol a
módosítások a következők: t k+ 1  t + k 6k , ahonnan

154