Page 152 - vol1

legfeljebb t részre osztja. A (k+1)-ik kör megrajzolásakor az előző körökkel 2k
k
metszéspontot kapunk, s mindegyikhez tartozik egy új tartomány.

(Az ábrán a 3-ról a 4 körre való lépést szemléltettük, + jellel jelöltük az új
tartományokat). Ezért hát felírható, hogy t k+ 1  t + k 2k minden

k  1,2,3,...,n esetén.

Ha most összegezzük ezeket az egyenlőtlenségeket k=1-től, k= (n-1)-ig,
akkor azt kapjuk, hogy:

+
+
=
+
t  + 2(1 2 3 ... (n− 1)) 2 n (n− 1) n − + . A szélsőhelyzet el
+
+
=
2
2
t
n
n
1
is érhető. Tetszőleges n esetén megadhatunk n darab kört úgy, hogy bármely
kettőnek két metszéspontja legyen. Pl. egy adott kört rögzített irányban (n – 1)-
szer „kissé” eltolunk. Ha az első és utolsó kör középpontjának távolsága kisebb,
mint a kör sugara, akkor mindegyik kör metszi mindegyik kört, különböző
pontokban. Vagyis amit éppen bizonyítani akartunk.
Tekintsük most a következő segédfeladatot:
4
3. segédfeladat: Igazoljuk, hogy minden n  természetes számra
2  n − + 2 .
n
2
n
Bizonyítás: Ezúttal is teljes indukcióval bizonyítunk. Az n= 4 esetén
=
+
=
16 2  4 − 4 2 14igaz. Feltételezzük, hogy 2  k − + 2 is igaz, és
k
4
2
2
k
+
2
bizonyítjuk, hogy 2 k+ 1  (k + 1) − (k + 1) 2is igaz. Valóban, a feltételből
2
kiindulva kapjuk, hogy 2 k+ 1  2(k − + 2), így elegendő ellenőrizni, hogy
k
+
2(k − + 2) (k + 1) − (k + 1) 2 ami azt jelenti, hogy (k k − 3) 2 0 ami

2
2
+

k
4
igaz mert k  .
Ezzel már megfogalmazhatjuk azt az eredményt, ami Venn munkájából
is kitűnik:
1. Tétel: Csupa körökből álló Venn-diagram nem tartalmazhat
háromnál több kört.
4
Bizonyítás: Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy n  kör esetén is tudunk
n
szerkeszteni csupa körökből álló Venn diagramot. Ezek tehát a síkot 2 részre
osztják. Másfelől a 2. segédfeladat alapján az n kör a síkot legfeljebb n − 2 n + 2

152