Page 149 - vol1

17. Ismerkedés a Venn-Euler diagramokkal

Az ábráknak nemcsak a geometriában van fontos szerepük, hanem a
legkülönbözőbb feladatok megoldásában is segíthetik a kiindulási adatok
elrendezését, összefüggések felismerését, megkönnyíthetik a feltárt
összefüggések későbbi felidézését és ellenőrzését, maga a feladat megoldását.

Az ábrák egyik speciális kategóriája a diagrammok. Ezek két, vagy több
változómennyiség közötti összefüggést fejezik ki, koordináta rendszerben,
grafikus formában. A diagramok közül a leg ismertebbek az Euler-diagramok és
a Venn diagramok. Ezeket közös néven halmazábráknak is nevezik, mivel
halmazok viszonyait, számosságát (elemeinek a számát) és műveleteit
szemlélteti. Többnyire síkidomokat (köröket, ellipsziseket, háromszögeket,
négyszögek, egyéb konvex vagy konkáv alakzatokat), általánosabban zárt
görbéket használnak.

Először Leonhard Euler (1707- 1783) svájci
matematikus használta, majd John Venn (1834-1923) brit
matematikus népszerűsítette 1880-ban a Symbolic Logic
című művében. Ezeket használják az elemi halmazelmélet
tanításában, a logikában, valószínűségszámításban,
statisztikában, illetve a nyelvészetben. Általában csak
néhány halmaz szemléltetésére alkalmas, mivel sok
egymást kölcsönösen metsző halmaz esetén az ábra elbonyolódik, vagy nem is
lehetséges az összes metszetet ábrázolni. A képen John Venn látható.

Ezeket a halmazokat általánosabban zárt görbékkel értelmezzük. Minden
görbe belseje valamilyen halmazt ábrázol, a zárt görbén kívül eső rész pedig
annak komplementerét.

Az {A1, A2,..., An} görbecsaládot Venn-diagramnak nevezzük, ha a görbék a
n
síkot pontosan 2 diszjunkt tartományra bontják, és a tartományok
megegyeznek az összes lehetséges X  X  X 3 ... X alakú halmazzal,
1
2
k
k{1, 2,..., n}, ahol minden Xi helyére az Ai egyszerű, zárt görbe belsejét vagy
külsejét írhatjuk, i{1, 2,..., n}. Az Euler-diagramok abban különbözik a Venn-
n
diagramtól, hogy nem tartalmazza az összes lehetséges 2 tartományt (úgymond
atomot).

149