Page 145 - vol1

Megoldás: tükrözzük a B pontot a (d) egyenesre, és legyen B’
a B pont szimmetrikusa. Az AB’ egyenes a (d) egyenest P
pontban metszi. Ekkor PA+PB=PA+PB’= AB’, és igazoljuk, hogy
ez a P pont amelyre a szóban forgó összeg a leg kisebb.
Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy létezik olyan P’
pont a (d) egyenesen, amelyre P’A+ P’B <PA+ PB. Ellenben a
háromszög egyenlőtlensége alapján
P’A+P’B= P’A+ P’B’> AB’= AP+PB’=PA+PB
vagyis ellentmondáshoz jutottunk.

12) Az ABCD konvex négyszög belsejében keressük meg azt a P
pontot, amelyre a PA+PB+PC+PD összeg minimális.
Megoldás: Igazolni fogjuk, hogy a
szóban forgó P pont éppen az AC és
BD átlók metszéspontja lesz.
Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis,
hogy az átlók metszéspontján kívül
létezik olyan P’ pont amelyre
P’A+P’B+P’C+P’D< PA+PB+PC+PD.
A háromszög egyenlőtlensége alapján
felírható, hogy P’A+ P’C > AC = PA+ PC és P’B+ P’D> BD= PB+
PD és ezek összegzéséből adódik, hogy P’A+P’B+P’C+P’D>
PA+PB+PC+PD és ez ellentmondás.

13) Van-e olyan háromszög, amelynek minden magassága
2
nagyobb mint 2 cm, és a területe pedig kisebb mint 2 cm ?
Megoldás: feltételezzük, hogy
van ilyen háromszög, és a
háromszög oldalait jelöljük a
csúcsoknak megfelelő
kisbetűkkel. Mivel T=a×m/2
innen a×m=2T < 4. Ezért
4> am>2a ahonnan a<2
következik. teljesen hasonlóan
következik, hogy b <2 és c< 2 is igaz. De az ABD derékszögű
háromszögben az átfogó nagyobb mint a befogó, ezért c>m
de 2>c így 2>m ellentmondáshoz jutottunk.

145