Page 144 - vol1

9) Igazoljuk, hogy az AB szakasz felező merőlegesén kívül nincs a
síkban olyan P pont, amelyre PA=PB legyen!
Bizonyítás: feltételezzük az
ellenkezőjét vagyis, hogy a
szakaszfelező merőlegesen kívül
is van olyan P’ pont amelyre
P’A=P’B. Ez azt jelenti, hogy az
ABP’ háromszög egyenlő szárú.
Ha C az AB szakasz felezőpontja,
akkor mivel ABC=CB és AP’=P’B

és P’C közös, ezért az ACP’
háromszög kongruens a BCP’
háromszöggel, így ACP’  =
BCP’ , ami azt jelenti, hogy ez
a két szög mindegyike 90°-os,
vagyis P’C merőleges az AB-re,
ami azt jelenti, hogy P’ a
szakaszfelező merőlegesen van,
ami absurdum.

10) Igazoljuk, hogy az AOB szög szögfelezőjén kívül nincsen olyan
P pont amelyre d(P,OA)= d(P,OB).
Bizonyítás: feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy a
szögfelezőn kívül is van olyan P’ pont amelyre
d(P’,OA)= d(P’,OB). De ekkor Pitagorász tétele értelmében
OA=OB lesz, így az OAP’ háromszög kongruens lesz az OBP’
háromszöggel, ezért AOP’  = BOP’  ami azt jelentené, hogy
a P’ pont éppen az AOB szög szögfelezőjén van, ez
ellentmondás.

11) Adott a síkban egy (d) egyenes, és ennek
ugyanazon az oldalán két különböző
pont, az A és a B. Keressük meg a (d)
egyenes azon P pontját, amelyre a PA+PB
összeg minimális!

144