Page 141 - vol1

Mivel ez bűvös négyzet következik, hogy:
a+b=c+d=a+c=b+d=a+d=b+c ahonnan mindenképpen következik,
hogy b=c vagy a=b vagy a=c vagy a=d vagy b=d tehát
ellentmondásba kerültünk azzal, hogy a, b, c, d mind
KÜLÖNBÖZŐ számok.
Ezúttal a feltevéssel jutottunk ellentmondásra.

2) Bizonyítsuk be, hogy egy konvex hatszögnek nem lehet 4
hegyes szöge!
Bizonyítás: Ismert tétel, hogy egy n-oldalú sokszög belső
szögeinek az összege (n-2)×180° így hát a külső szögeinek az
összege 2×180°=360°. Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy
egy konvex hatszögnek van 4 hegyes szöge. Akkor az ezek mellett
fekvő külső szögek összege > 360°lenne, de ez ellentmond az
említett tételnek. Ezúttal egy tétellel jutottunk ellentmondásra.

3) Igazoljuk, hogy ha a síkban egy (d) egyenes két párhuzamos a,
b egyenesek közül metszi az egyiket (például az a-t), akkor
metszi a másikat is.
Bizonyítás:

Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy (d) nem metszi a (b)
egyenest. Így hát csak db vagyis csak párhuzamos lehet b-vel.
De ekkor az A ponton át a b egyeneshez 2 párhuzamos húzható,
ami ellentmond a IX. axiómának (párhuzamossági axióma).
Ezúttal egy axiómával jutottunk ellentmondásra.

141