Page 142 - vol1

Megoldott feladatok:
A következőkben, a módszer jobb megértése és elmélyítése
céljából bemutatunk néhány megoldott feladatot, a gimnáziumi
és a középiskolai elemi matematika köréből.

1) Bizonyítsuk be, hogy 2 nem racionális szám.
1. Bizonyítás: feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, 2 hogy
racionális szám. Ekkor léteznek olyan (p, q)= 1 pozitív egész
p
számok, amelyekre 2 = ahonnan 2q =p tehát p páros
2
2
q
kell legyen. Legyen például p=2r, ahol r természetes szám.
2
2
Visszaírva kapjuk, hogy q =2r . De ebből következik, hogy q is
páros szám kell legyen. Legyen tehát q=2s. De ekkor azt
kaptuk, hogy (p, q)= (2r, 2s)=1 ellentmondás lenne.

2) Bizonyítsuk be, hogy 2 nem racionális szám.
2. Bizonyítás: feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy
2
racionális szám. Ekkor léteznek olyan p, q pozitív egész 2 = p
számok, amelyekre .Az ilyen létező p, q számok közül q
legyen p a legkisebb ami létezik.
2
2
De fennáll az, hogy 2q =p tehát p páros kell legyen, vagyis
p=2r, ahol r szintén természetes szám, és r< p, ami ellentmond
annak, hogy p a leg kisebb.

3) Bizonyítsuk be, hogy 2 + 3 nem racionális szám.
Bizonyítás: feltételezzük az ellenkezőjét, vagyis, hogy
2 + 3 = 6 p .Mindkét oldalt négyzetre emelve kapjuk, hogy
q
p 2 m
5 2 6 =  6 = vagyis racionális lenne, de az előző
+
q 2 n
bizonyítások mintájára igazolható, hogy ez nem igaz.

4) Két csoportra oszthatók-e a következő számok úgy, hogy az
egyik csoportba tartozó számok összege 9-cel nagyobb legyen
mint a másik csoportba tartozók összege? A számok:
-7, -4, -2, 3, 5, 9, 10, 18, 21, 33

142