Page 133 - vol1

zárójelek szorzását felírhatjuk, hogy:
( x x + 1)(x + 2)(x + 3) =  (x x + 3)  (x + 1)(x + 2)  ( x= 2 + 3x ) ( x 2 + 3x + ) 2 .

Most, ha bevezetjük az y = x + 2 3x változócserét, akkor azonnal adódik,
hogy
( x x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) 2 = ( y y + 2) 1 1 (y + 1) + 1 (x + 3x+ 1) + 1 0
+
+
=
+

=
2
2
2
ami azt igazolja, hogy Létezik olyan valós x érték, amelyre
+
=
( x x + 1)(x + 2)(x + 3) 2 0 lenne. Ezzel a feladatot megoldottuk, hiszen
cáfoltuk azt, hogy létezik olyan valós x érték, amelyre
+
( x x + 1)(x + 2)(x + 3) 2 0 lehetséges lenne.
=
)
Nézzük ezúttal is, hogy miből is áll egy ( x  H )( ( )P x esetben
a cáfolás? Ez abból áll, hogy azt igazolom, hogy ( x  H )( P (x ) ) (ii)
vagyis bebizonyítom, hogy minden esetben a bizonyítandó állítás
ellentettje (tagadottja) áll fenn.
Ezzel tehát megoldottuk mind a két feladatot, és az (i) és (ii)
által azt is beláttuk, hogy matematikai nyelvezettel mit is jelent a két
fajta mondat cáfolása.
A továbbiakban, csupán az elemi matematika területére
szorítkozva (tehát kizárva a felsőbb algebrát és a matematikai analízist)
számos olyan feladatot és azok cáfolással történő megoldását mutatjuk
be, amelyek tanulságul szolgálhatnak a cáfolási módszer jobb megértése
és elmélyítése érdekében. A bemutatott feladatok esetén semmilyen
rendszerességre, semmilyen teljességre nem törekszünk, csupán ízelítő
ötleteket nyújtunk a kíváncsi Olvasónak. Hasonló feladatokat, a
matematika minden területéről bárki érdeklődő saját maga is találhat és
szerkeszthet. Most nézzünk néhány alkalmazást!

I. Az (i) alapján ellenpéldával cáfoljuk a következő mondatokat:
1) Ha ,a b N és a b+ páros szám, akkor a és b is páros számok.
2) Ha ,a b Z és a b+ = 3M , akkor a = 3M vagy b = 3M .
3) Ha ,m n N és 3 nem osztja az m-et, 3 nem osztja az n-et, akkor 3
nem osztja az (m+n)-et.
4) Ha ,x y (0,1) akkor x y (0,1).
+
5) Ha ,x y R Q \ , akkor x y R Q+  \ .
6) Ha ,x y R Q \ , és x  akkor x y  R \Q.
y
7) Ha ,x y , és x  , akkor x  y .
R
y
2
2
133