Page 131 - vol1

állítások ellen. Ebben az esetben a cáfolás sikertelen, mert nem
teljesülnek a 3. é a 4. feltétel. Valójában, amikor a nyilatkozó azt mondja,
hogy „ Cáfolom a sajtóban megjelent állításokat”, akkor ezáltal csak
tagadja a sajtóban megjelent állításokat. Vagyis, ebben az esetben a
megnyilatkozás cselekvési értéke csak tagadás, és nem cáfolás. Ne
felejtsük tehát, hogy a cáfolás, mások által állított igazságok érvekkel
való tagadása.
Ezen kitérők után lássuk, hogy mi a helyzet a cáfolással a
matematikai logikában és a matematikában.
A matematikában is az ismereteink igaz voltát be kell
bizonyítanunk, mert azok lehetnek igazak vagy hamisak. Így vagy az
ismeretek igazságát vagy azok hamisságát kell kimutatnunk. E célra két
logikai művelet áll rendelkezésünkre. Az egyik a bizonyítás, a másik a
cáfolás. Tulajdonképpen e két művelet egyet jelent: mindkettő
bizonyítás, mert a cáfolás „negatív irányú bizonyítás” A bizonyítás és
cáfolás az az ítélettel végezhető logikai művelet, amelynek segítségével
egy tétel igazságát, vagy hamisságát tárjuk fel. Bizonyítani mindig annak
kell, aki állít és a tétel igazságát mutatja. Cáfolnia mindig annak kell, aki
tagad és a tétel hamisságát mutatja ki.
Nézzük hát, hogy a matematikai logikában, és maga a
matematikában miből is áll a cáfolás, hogyan érvényesítjük a cáfolást a
matematikai feladatok megoldása során.
Legyen P(x) egy egyváltozós nyitott mondat (unáris predikátum,
vagy egyváltozós logikai függvény). Gyakran kell belátnunk és
bizonyítanunk olyan mondatokat, amelyekben a két kvantor valamelyike
is szerepel:
)
1) ( x H  )( ( )P x , vagy
)
2) ( x  H )( ( )P x , ahol H egy adott halmaz.
2
2
Például: 1) Igazoljuk, hogy ( x R  )((x + 1) = x + 2x + ) 1 , vagy
2) Igazoljuk, hogy ( x R x  )( 2 = ) 1 .
Az első példa egy azonosságot szemléltet ami mindig igaz, a
második pedig egy egyenlet megoldásának a létezését mondja ki.
Felmerülhetnek ellenben olyan mondatok is, amikor nem tudjuk
egyből eldönteni, hogy azok mikor igazak, és mikor hamisak. Nézzünk
két ilyen példát:

1. Példa: Igaz-e, hogy ( n N  )(2 + + 1 5M ) ?
n
n

131