Page 132 - vol1

+
2. Példa: Igaz-e, hogy ( x R  )( (x x + 1)(x + 2)(x + 3) 2 = ) 0
Belátható, hogy az első példa esetén, hogy nem tudom egyenként
ellenőrizni, hogy az összes n N szám esetén 2 + n n+ 1 nem lesz az
5-nek a többszöröse, és valójában, ha másként is bizonyítani szeretném
ezt, valójában mit is bizonyítsak, hogy azt jelentse, hogy a szóban forgó
összeg nem többszöröse az 5-nek. Ekkor felmerülhet az a gondolat, hogy
hátha nem lesz igaz az állatás valamilyen n értékre? Próbáljunk legalább
egy ilyen értéket keresni. Ha elkezdjük kipróbálni az első néhány
természetes számot, akkor mind olyan értékeket kapunk, amelyek tényleg
nem többszöröse 5-nek. De hát meddig próbálgassunk? Ennek alapján
elgondolkozhatunk azon, hogy valahogyan módszeresen próbáljunk
=
olyan n-et keresni, amelyre 2 + + 1 5M lenne. Próbáljunk előbb olyan
n
n
n-et keresni, ami páros, ezért legyen n= 2k. Ennek alapján rendre
felírható, hogy:
2 + + 1 2 + 2k + 1 4 + 2k + 1 (5 1) + 2k + 1 M 5 ( 1) + 2k + 1
k
n
=
2k
=
k
=
+
−
k
−
=
n
.
Most már könnyen belátható, hogy ha például k=5, akkor a kifejezés
5-nek a többszöröse lesz (de ez igaz minden k=5(2m+1) alakú számra is)
=
+
vagyis 2 + 10 1 5M .
10
Ezzel a feladat megoldása véget ért, ugyanis megdöntöttük azt a
n
mondatot, hogy ( n N  )(2 + + 1 5M ) . Úgy mondjuk, cáfolással

n
bizonyítottuk a feladatot, hiszen egy ellenpéldát adtunk, az n=10 értékre,
amikor is a mondat ellentettje az igaz.
)
Nézzük csak tehát, hogy miből is áll egy ( x H  )( ( )P x esetben
a cáfolás? Ez abból áll, hogy azt igazolom, hogy ( x  H )( P (x 0 ) ) (i)
0
vagyis keresek legalább egy olyan x értéket, amelyre a feltételek
0
teljesülnek, és az állítás ellentettje (tagadottja) lesz igaz.
)
A P ( ) a ( x H  )( ( )P x mondatnak egy úgynevezett ellenpéldája!
x
0
Nézzük most a második példát. Itt is már indulásból
nehézségekbe ütközünk, hiszen nem könnyű eldönteni, hogy ténylegesen,
a szóban forgó negyed fokú egyenletnek van-e vagy nincs valós x
megoldása. Ellenben, ha arra gondolok, hogy esetleg nem-e tudnám
bizonyítani, hogy az egyenletnek nincsen megoldása, akkor vajon mikor
is nem lenne? Például akkor, ha minden valós x esetén

+
+
( x x + 1)(x + 2)(x + 3) 2 0 vagy ( x x + 1)(x + 2)(x + 3) 2 0.

Próbálkozzunk ilyen irányban. Először is ha ügyesen végezzük el a
132