Page 15 - @Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek

45. A pozitív valós számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletet:
2
2
2
(x  1)(x  y 2 )  4x y .
Megoldás
Ha alaposan szemügyre vesszük a két oldalt, akkor beugorhatnak a
2
2
2
következő egyenlőtlenségek: x  1 2x és x  y  2xy . Ha ezeket

2
2
2
2
összeszorozzuk, azt kapjuk, hogy 4x y  (x  1)(x  y 2 )  4x y , ami
azt jelenti, hogy az egyenlőtlenségek helyett mindenhol egyenlőség kell
2
2
2
álljon, tehát x  1 2x és x  y  2xy , ahonnan x  y  1 adódik.

46. Határozzuk meg azokat az n természetes számokat, amelyekre az
n
4
n  4 szám prímszám.
Megoldás
4
n
Vegyük észre, hogy az n szám nem lehet páros, mert akkor n  4
nagyobb mint 2 , és páros lesz, és így nem lehet prímszám. Tehát
n
4
0
1
n  2m  . Ha m   n  , akkor n  4  valóban prímszám.
1
5
Legyen tehát m  . Megpróbáljuk az adott kifejezést szorzatra bontani,
0
4
mégpedig úgy, hogy megfelelően kiegészítjük: E  (2m  1)  4 2m 1 
2 2m 1 2 2k 1 2 2 2k 1 2 2
2
 (2m  1)  2   2 (2m  1)   2 (2m  1)  , vagyis
2 2k  1 2 2
2
2k 
1
E  (2k  1)  2  2 (2m  1)  
2
2
 (2k  1)  2 2k  1  2 2k  1 (2m  1) 2 (2k  1)  2 2k  1  2 2k  1 (2m  1) 2  ,
és mivel egyik tag sem lehet 1, a kapott szorzat nem lehet prímszám.
2
47. Az a, b és c valós számok esetén igaz, hogy ac bc c  . Igazol-

0

2
juk, hogy b  4ac .
Megoldás
2
Feltételezzük az ellenkezőjét vagyis, hogy b  4ac . Ekkor azonban
2
0
az eredeti egyenlőtlenség alapján 4ac  4bc  4c  , és összegezve a
2
2
0
két utóbbi egyenlőtlenséget azt kapjuk, hogy b  4bc  4c  , vagyis
2
0
(b  2 )  , és ez ellentmondás, tehát a feltételezésünk hamis.
c
53