Page 16 - @Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek

149. Határozzuk meg az abcd tízes számrendszerbeli számokat, ame-


lyekre abcd  abc ab a  2023 .
Megoldás
A bal oldali számokat felírjuk az egységrendek segítségével:




1000a  100b  10c d  100a  10a b a  1111a  111b  11c d  2023.
Belátható, hogy a   2222  2023, így nincs megoldás. Tehát
2
a  1, és az egyenlet 111b  11c d  912 . Könnyen belátható, hogy

b  9 , de ha b  , akkor 777 11c d  777 99 9 912 . Tehát föl-
7





tétlenül b   11c d  24 . Továbbá ha c   d  13 nem lehet,

8
1
2
2
tehát c   d  , így abcd  1822 .


y
y
150. Igazoljuk, hogy (3x  5 ) 11  (7x  8 ) 11.
Megoldás
Az alapötlet a következő: találjunk olyan a, b, p, q természetes szá-
y

a

mokat, amelyekre 3x  5y  b (7x  8 ) 11(px qy . Módszeres pró-
)
y

y

bálkozással belátható, hogy (3x  5 ) 2(7x  8 ) 11(x  ) y igaz, tehát


az (3x  5 ) 11, akkor és csakis akkor igaz, ha (7x  8 ) 11.
y
y

4
3

151. Igazoljuk, hogy (7 7 2  7  7  ... 7 2022 ) 19 .
Megoldás
Az ilyen összegek esetén azzal szoktunk próbálkozni, hogy két vagy
több tag összege osztható legyen a kért számmal. Általában ezek a tagok
2

egymás utáni tagok szoktak lenni, ezért így próbálkozunk: 7 7  56 ,
3
2
de ez az összeg nem osztható 19-cel. Továbbá 7 7  7  399 57 19 ,



k
2

3
7 k 1  7 k 2  7 k 3  7 (7 7  7 ) 7 , és ami a legfontosabb az, hogy 2022

osztható 3-mal, így a hármasával való csoportosítás lehetséges, ugyanis
2019 darab hármas csoportot kapunk. Most már felírható, hogy:
4
2
3


(7 7  7  7  ... 7 2022 ) 
2
3
2
2
3
3



 (7 7  7 ) 7 (7 7  7 ) ... 7 2019 (7 7  7 ) 





2
6
3
3
6
3
 (7 7  7 )(1 7  7  ... 7 2019 ) 57 19(1 7  7  ... 7 2019 ) 19.







92