Page 17 - @Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek

152. A természetes számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletet:

n
x   x   4  (x  8) ... (x  4 ) 2012, ahol n .


Megoldás
A zárójelek felbontása és a közös tagok kiemelése után azt kapjuk,





)



hogy (n  1)x  4(1 2 3 ... n  2012 . Az S  1 2 3 ... n ,






1)
Gauss-módszerrel 2S  (1 n ) (2 n  1) ... (n  1) n (n  , tehát
( n n  1)

n
S  . Most az egyenlet így alakul: (n  1)x  2 (n  1) 2012,
2

n
vagyis (n  1)(x  2 ) 2012. Mivel 2012 2 503 2  , ezért n  1 1, 2, 4 

és   x 2012,1004, 497 .
2
153. Igazoljuk, hogy 1 5  11 19  34  3  .
Megoldás
Az egymás utáni négyzetre emeléssel tulajdonképpen azt kapjuk,
meg, hogy honnan is kell elkezdeni a feladatot. Erre akkor is rájövünk,
ha figyelembe vesszük, hogy 3 2  34  3  36  , és lépésről
6

4



lépésre 19 6  25 5, továbbá 11 5  16  , 5 4  9 3,
és végül 1 3  4  , és ezzel igazoltuk az egyenlőtlenséget.
2
154. A valós számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletet:
2
2
2
2
3
9x  4y  12xy   x  y  4y  6y  17  .
1
Megoldás
A gyökök alatti kifejezések láttán mindenképpen arra gondolhatunk,
hogy próbáljunk kihozni teljes négyzeteket. Ez valóban működik, mert
2
2
2
1
az egyenlet így írható: (3x  2 )   (x  2)  (y  3)   , és
y
3
4
2
2
2
4
2
innen (3x  2 )  1 1, valamint (x  2)  (y  3)   tehát

y
2
2
2
2
9x  4y  12xy   x  y  4y  6y  17 3, és egyenlőség csak-
1

2
3
2
x
is akkor áll fenn, ha 3x  2y     3 0 , vagyis x  és y  .

y
93