Page 11 - @Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek

egy kéttagú összegről van szó. Felmerül a kérdés, hogy vajon van-e va-
x 2 18 x 3
lami kapcsolat, összefüggés az  és az  kifejezések között?
2 x 2 2 x
Vajon hogyan lehet eljutni az első hatványtól a másodikig? Hát például
2
2
az (a  ) b 2  a  2ab  b rövidített számolási képlet használatával.
2 2
 x 3  x 9
Próbáljuk meg:      3  2 . Ez nagyszerű, mert nagyon
 2 x  4 x
x 2 18
hasonlít az  kifejezésre, hiszen azonnal felírható, hogy
2 x 2

x 2 9  x 2 9  1  x 2 9  1 x 2 18 
 3    2   3  2   2   3    2   3 , tehát
4 x 2  4 x  2  4 x  2 2 x 

x 2 18  x 3  2
tulajdonképpen   2     6 . És ez már megindította a fel-
2 x 2  2 x 
x 3
adatunk megoldását, mert ha bevezetjük az   y változócserét,
2 x
x 2 18 2
6
akkor   2y  , és az eredeti egyenletünk a következő alakot
2 x 2
13  6 5 
2
6
2
ölti: 2y   y , vagyis 10y  13y  30  , ahonnan y  ,  .
0

5  5 2 
Nem marad más hátra mint, hogy megoldjuk a következő két másodfokú
x 3 6
2
egyenletet:    , vagyis 5x  12x  30 0 , ahonnan x ,

2 x 5
x 3 5 2
továbbá   , vagyis x  5x  6 0 , ahonnan x   .

2,3
2 x 2
Utólag érdemes elgondolkodni a feladaton, hogy ha például
4
2
x  18 13(x  6)
 alakban lett volna kitűzve, ami könnyen átírható
2x 2 10x
3
4
5x  13x  78x  12 0 alakúra, akkor a megoldása eléggé nehéz lett

volna, de így is lett volna néhány támpont: ha az egész gyököket keres-
sük, akkor azokat egyértelműen a 12 osztói között kell keressük, vagyis
a D   1, 2, 3, 4, 6, 12       halmaz elemeit kellene kipróbálni, ami
12
eléggé hosszadalmas.
15