Page 14 - @Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek

43. Az egész számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletrend-
szert:
2
 x  yz  1
 2
 y  zx  1.
 z  xy  1
2

Megoldás
A szimmetriából fakadóan, ilyenkor érdemes az egyenleteket pá-
y
ronként kivonni egymásból, így ezt kapjuk: (x  y )(x   z ) 0 ,

z

x

(y  z )(y   x ) 0 , illetve (z  x )(z   y ) 0 . Ha x  y , akkor
2
2
z  x  1, tehát (z  x )(z  x ) 1, ahonnan z x   1, z x   1, és


1
0
megoldva az egyenletrendszereket azt kapjuk, hogy x  , z   , így
y   1 . Tehát ha x  y  0 vagy y   vagy z x  , akkor az ösz-
z
0
0
szes megoldás   1,1,0 ,  0,1, 1 ,  0, 1,1 , (1,0, 1), ( 1,0,1)     .
 1, 1,0 ,

0
Ellenkező esetben x  y z  y z x  x z   0, innen x y z  ,


y




így x  y   0 adódik, de ez nem teljesíti az egyenletet, tehát nem
z
megoldás.

2
2

44. Ha  x  1 x  y  1  y  1, határozzuk meg az x értékét!
y
Megoldás
A gyökök láttán hamar arra gondolhatunk, hogy szorozzunk a kon-

2
2
jugáltakkal. Így azt kapjuk, hogy 1  x  1 x  y  1  y . Tehát


 
2
2
2
2




igaz, hogy  x  1 x  y  1 y  x  1 x  y  1 y . Elvé-
2
2

gezve a szorzásokat azt kapjuk, hogy x y   y x  1 0 , vagyis
1
2
2
x y  1   y x  1 , így xy  kell legyen, és négyzetre emelés után
0
2
2
0
y
azt kapjuk, hogy x  y , ezért x   , de xy  miatt csak az
x
x      1 megfelelő.
y
y
52