Page 13 - @Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek

számok miatt ez kellemetlen, és a szakaszos törtekkel is számolni kell,
tehát esetünkben nem egy járható út.
x y z
Második lehetőség: mivel a számok pozitívak, az   el-
y z x
2
döntése lehetséges lenne úgy is, hogy összehasonlítjuk az ( ,xz y
)
,
valamint az (xy z 2 ) számpárokat. Ebben is az eléggé nagy számokkal
elvégzendő szorzások gátolnak meg.
Harmadik lehetőség: klasszikus módszer, a közös nevezőre hozás,
de így a bővítések során ilyen szorzatokat kellene kiszámítsunk mint
például 1234320 1234322 1234323 , ami szintén nagyon kellemetlen.


Ezért jelen esetben ezt a módszert is el kell vetnünk.
Vegyük szemügyre a törteket alkotó számokat: ezek minden tört
esetén egymás utáni számok. Ez lényeges, mert így értelme van felírni,
1 1 1
hogy a    , b    és c    , ahonnan
1
1
1
1234321 1234322 1234323
1



látszik, hogy a  1 b  1 c  , és innen a b c is azonnal adódik.

3. A valós számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletet:
x  3 2x  5 3x  7 100x  201
   ...  100 .
2 3 4 101
Megoldás
A közös nevezőre hozás nem egy járható út. Elképzelhető, hogy
az x-eket és a számokat külön válasszuk, ekkor azt kapjuk, hogy
 1 2 3 100   3 5 7 201

x     ...      ...   100 ellenben, ahova
 2 3 4 101   2 3 4 101 
innen eljuthatunk, oda másképpen hamarabb is eljutunk.
Vegyük észre, hogy a bal oldalon az összegnek 100 tagja van, és a
jobb oldalon is 100 szerepel. Ezért a következő átalakítást végezhetjük:
 x  3   2x  5   3x  7   100x  201 
...
0


 
 
  1   1   1     1  , vagy ezt:
 2   3   4   101 
x  1 2(x  1) 3(x  1) 100(x  1)
   ...  0. Innen kiemelve x   1 -et,
2 3 4 101
 1 2 3 100 
x   1     ...   0  x   , így megoldottuk a feladatot.
1
 2 3 4 101 
27