Page 65 - Tuzson - Teszteld magad A5-2019

3. Az erőltetett tényező módszerét alkalmazzuk:

3 n+ 1    2   n+ 1 + 1 
2 n + 1 + 3 n + 1  3     
L = lim = lim = 3, ezért a helyes válasz a
n
n→ 2 + 3 n n→ n   2  n 
3   + 1
 3     
(B).
4. Az erőltetett tényező módszerével felírható, hogy
)

−
2
lim ( n + − an b = 0  limn   1+ 1 −  a = és mivel a limesz
n
b
n→ n→  n 
 
értéke véges kell legyen, ezért egy határozatlan eset kell fennálljon,
 1 
)
−
−
2
vagyis lim  n→ 1+ −  a = 0  = 1. Így hát lim ( n + n an b = 0
a

 n  n→
)
2
−
b
felírható, hogy lim ( n + n n = és a konjugálttal bővítve kapjuk,
n→
n n 1
hogy lim = lim = = b , ezért a helyes válasz
n→ n + 2 n + n n→  1  2
n  1 + + 1
 n 
az (A).
5. A fogótételt alkalmazzuk, miszerint felírhatjuk, hogy:
1 1 1 1 1
a = n  b = + + ...+  n = c n
n
n
2
2
2
2
2
n + n n + 1 n + 2 n + n n + 1
n 2 n 2
és mivel lim a = = 1= = limc ezért limb = ami azt
1
n
n
n
n→ n + 2 n n + 2 1 n→ n→
jelenti, hogy a helyes válasz a (B).
6. Alkalmazzuk a Stolz-Cézaro féle lemmát. Legyen
a − a
−
+
a = 2+ 2 + 3 2 ...+ n 2 n és b = lnn. Ekkor lim n+ 1 n =
n n
n→ b n+ 1 − b n
−
−
n + 1 2 1 (n + 1)( n + 1 2 1) ln 2
= lim = = = ln 2 ami azt jelenti,
−
n→ ln(n + 1) ln n  1  n+ 1 lne
ln 1+ 

 n 
hogy a helyes válasz a (B).
65