Page 23 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

8. Az ábrázolás módszere

A feladatmegoldások során a matematika legtöbb ágában az ábrák használata régóta
nélkülözhetetlenné vált. Gondoljunk csak a geometria, a matematikai analízis, a gráfelmélet, a
halmazelmélet egyes feladatainak megoldására.
Annak ellenére, hogy az aritmetika a matematikának nem önálló ága, mégis gyakran
használhatók különböző ábrázolási formák az aritmetikai feladatok megoldására is.
A feladatok megoldása során az ábra fontos segédeszközt jelent a feladatmegoldó számá-
ra. Kezdetben az ábra megőrzi az aritmetikai feladatok konkrét szövegét, majd fokozatosan
elvonatkoztatunk, szimbolizálunk. Magasabb szinten lehet, hogy az ábra csak a képzele-
tünkben szerepel.
Az aritmetikai feladatok esetében az ábra általában olyan rajz, amely sematikusan ábrázolja
a feladat minél több adatát: az ismeretlen mennyiségeket, valamint e két mennyiség közötti
kapcsolatot (összefüggést). Az aritmetikában gyakran használatos az ábrázolás módszere
megnevezés. Olyan esetekben, amikor a megoldás nagymértékben az ábrázolás terméke, a
módszer megnevezés nem túlzás. (A következőkben ilyen jellegű példákat mutatunk be.)
8.1. A szakaszos ábrázolás módszere
A két vagy több ismeretlent tartalmazó aritmetikai feladatok ismeretlenjei gyakran
könnyedén ábrázolhatók szakaszokkal.
A szakaszos ábrázolás nagy hatékonysággal alkalmazható az alábbi típusú egyenlet-
rendszerekre épülő feladatok megoldására:
1. x + y = a és x – y = b,
2. x + y = a és x = cy + r,
3. x – y = b és x = cy + r,
ahol a, b, c, r  (elemi osztályokban egész számok, esetleg pozitív törtszámok).
Az 1. típusú egyenletrendszerről, valamint a 2. és 3. típusú egyenletrendszerek r = 0 sajátos
esetének elemi szintű, tárgyi cselekvésre épülő megoldásáról az előző fejezetben írtam.
Az 1., 2., 3. típusú egyenletrendszerek elemi megoldásait most is feladatok segítségével
teszem áttekinthetőbbé.
1. feladat
Két szám összege 41 és különbsége 15. Melyik ez a két szám?
Jelen esetben is bemutatom mind az algebrai, mind az aritmetikai megoldásformákat.
1. algebrai megoldás 1. aritmetikai megoldás
Legyen x a nagyobbik, és y a kisebbik Ábrázoláskor az (E 1 ) ekvivalenciát használ-
szám. Így juk, a kisebbik szám a 15:
x + y = 41 15
x – y = 15 a nagyobbik szám a 41.
y – (–y) = 41 – 15
41
2y = 26  y = 13
x = y + 15 = 13 + 15 = 28 Tehát a kisebbik szám = (41 – 15) : 2 = 13,
a nagyobbik szám = 13 + 15 = 28.
2. algebrai megoldás 2. aritmetikai megoldás
A kisebbik számot kipótoljuk 15-tel, így a ki-
x + y = 41 sebbik kipótolva:
x – y = 15 15
x + x = 41 + 15

57