Page 21 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

Belátható, hogy rendre 1, 2, 3, 4, ... sor esetén a székek száma 1, 4, 9, 16,..., vagyis olyan
négyzetszámokat kapunk, amelyekben a sorok száma saját magával van megszorozva.
Ezért tehát, ha az 1024 szék teljes (hiánytalan) sorokat tesz ki, akkor – induktív sejté-
seink szerint – kell léteznie egy olyan n természetes számnak, amelyre n  n = 1024. Könnyen
belátható, hogy ez az n szám 30-nál nagyobb (mert 30  30 = 900) és 2-ben végződik. Így
n = 32-re gondolva 32  32 = 1024 adódik. Tehát ha n = 32 sor van, akkor eredetileg 32 – 7 = 25
sor szék lenne. Próbáljuk ezt ellenőrizni, hogy valóban 975 szék lesz-e!
15 + (15 + 2) + (15 + 4) +...+ (15 + 24  2) = 25  15 + (2 + 2  2 +...+ 24  2) =
= 375 + 2(1 + 2 + 3 +...+ 23 + 24) = 375 + 2[(1 + 24) + (2 + 23) +...+ (12 + 13)] =
= 375 + 2  12  25 = 975
Tehát az induktív gondolkodásunk eredményeként adódó 25. sor megfelel, és csakis ez
felel meg, ugyanis ha 25-nél több, illetve kevesebb sorunk lenne, akkor a 975-nél több, illetve
kevesebb székünk lenne. Jelen esetben is az induktív gondolkodásunk eredményét végül is
deduktív módon „hitelesítettük”.
3. feladat
2
2
2
1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 5 , 2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 11 , 3 × 4 × 5 × 6 + 1 = 19 . Milyen szabályt vehetünk
észre? Mivel egyenlő 2011 × 2012 × 2013 × 2014 + 1? Fogalmazzunk és bizonyítsunk általános
érvényű állítást!
Megoldás
2
2
2
Figyeljük meg, hogy 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 5 = (1 × 4 + 1) = (2 × 3 – 1) ;

2
2
2
2
2
2
2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 11 = (2 × 5 + 1) = (3 × 4 – 1) ; 3 × 4 × 5 × 6 + 1 = 19 = (3 × 6 + 1) = (4 × 5 – 1) és

2
2
így tovább. Továbbá 2011 × 2012 × 2013 × 2014 + 1 = (2011 × 2014 + 1) = 4050155 . Ezen

sajátos megfigyelések alapján felírható, hogy:
2 2 2 2
n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3) + 1 = (n(n + 3) + 1) = ((n + 1) × (n + 2) – 1) = (n + 3n + 1)

2
2
Ezt ellenőrizzük is: n(n + 3) = n + 3n, (n + 1)(n + 2) = n + 3n + 2, ahonnan

2
2
2
2
2
2
2
(n + 3n)(n + 3n + 2) + 1 = (n + 3n) + 2(n + 3n) + 1 = (n + 3n + 1)

Vegyük észre, hogy az előbbiekben nem csak általánosítottuk az összefüggést, nem csak
sejtést alakítottunk ki, hanem algebrailag be is bizonyítottuk sejtésünket.
4. feladat
Tekintsük a következő számsorozatot: (1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 19, 19),…
Mivel egyenlő a 100-dik zárójelben levő számok összege?
Megoldás
3
3
3
3
Figyeljük meg, hogy 1 = 1 , 3 + 5 = 8 = 2 , 7 + 9 + 11 = 27 = 3 , 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4 .
Folytatva induktív megfigyeléseinket könnyen rájövünk, hogy noha a 100-dik zárójel elemeit
nehéz lenne megmondanunk, ettől függetlenül a 100-dik zárójelben levő számok összege
3
éppen 100 = 1000000.

5. feladat
Hozd egyszerűbb alakra a következő szorzatot:
 

P  2 1  2 2  1  2 4  1  2 8  1  2 16  1  2 2 2014  1 .
Megoldás
2
Induljunk ki abból, hogy P = (2 – 1) × P és (2 – 1) × (2 + 1) = 2 – 1. Így látható, hogy
2
2
2
2
4
(2 – 1) × (2 + 1) = 2 – 1, és induktív módon folytatjuk az (a – b) × (a + b) = a – b rövidített

számolási képlet egymás utáni alkalmazását végül kapjuk, hogy
 
 
 2 2 2014  1  2 2 2014  1  2 2 2014  2  1 2 2 2015  1 .

21