Page 20 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

Megoldás
Megoldásunkat a következő megfigyelésekkel kezdjük:
8 = 1  3 + 1  5, 9 = 3  3 + 0  5, 10 = 0  3 + 2  5.
Továbbá:
11 = 8 + 3 = (1  3 + 1  5) + 3 = 2  3 + 1  5,
12 = 9 + 3 = 4  3 + 0  5, 13 = 10 + 3 = 1  3 + 2  5 és így tovább.
Megfigyeléseinket így rögzíthetjük:
8 = 1  3 + 1  5, 11 = 2  3 + 1  5, 14 = 3  3 + 1  5, 17 = 4  3 + 1  5... (1)
9 = 3  3 + 0  5, 12 = 4  3 + 0  5, 15 = 5  3 + 0  5, 18 = 6  3 + 0  5... (2)
10 = 0  3 + 2  5, 13 = 1  3 + 2  5, 16 = 2  3 + 2  5, 19 = 3  3 + 2  5... (3)
Észrevehető, hogy az (1) sorozat tagjainak 3-mal való osztási maradéka 2, a (2) sorozat
tagjainak 3-mal való osztási maradéka 0, a (3) tagjainak 3-mal való osztási maradéka 1.
Mivel 1997 = 665  3 + 2 alakú, az 1997 az (1) sorozat tagja. Figyelembe véve az (1) soro-
zat tagjainak képzését, belátható, hogy 1 db 5 talléros érmével és (1997 – 1  5) : 3 = 664 db
3 talléros érmével kifizethetjük az 1997 tallért. (Persze nem ez az egyetlen kifizetési lehetőség.)
Általában, ha 1997 helyett n  8 pozitív egészet veszünk, akkor ez egyike a 3k, 3k + 1,
3k + 2 alakoknak, ahol n  8 miatt k  3. Tehát:
1. ha n = 3k alakú, akkor k darab 3 talléros pénzérmével fizetünk;
2. ha n = 3k + 1 alakú a (3) sor mintájára, először 2 db 5 talléros pénzérmével fizetünk, majd a
hátramaradt 3k + 1 – 10 = 3(k – 3) tallért már k–3 darab 3 talléros pénzérmével fizethetjük ki;
3. ha n = 3k + 2 alakú az (1) mintájára, előbb 1 db 5 talléros pénzérmével fizetünk, a
hátramaradt 3k + 2 – 5 = 3(k – 1) tallért már k – 1 darab 3 tallérossal fizethetjük ki.
Ezzel az általánosított feladatot is bebizonyítottuk, ami végül is induktív megfigyeléseink
nyomán tulajdonképpen deduktív módon történt. Az idézett rész szellemében azonban nem
túlzás az induktív módszer megnevezés sem.
2. feladat
Egy nézőtér első sorában 15 hely van, a többi sor mindegyikében 2 hellyel több, mint az
előző sorban. Tudva azt, hogy összesen 975 hely van, számítsuk ki, hány sor szék található a
teremben!
Megoldás
Belátható, hogy 15 + 17 + 19 + 21 +...+ ? = 975 alakú összegről van szó, ahol a ? helyére
írandó számot kell megneveznünk.
Ha felfigyelünk arra, hogy egymás utáni páratlan számok összegéről van szó, az az ötle-
tünk támadhat, hogy még vigyünk be 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 darab széket, így a sorok
számát 7-tel gyarapítottuk. Ezért az eredeti összeg helyett az
1 + 3 + 5 + 7 +...+ ? = 975 + 49 = 1024
összegről lesz szó. Az első sor 1 székét, majd az első két sor 1 + 3 székét, továbbá az első
három sor 1 + 3 + 5 székét stb. rendezzük át az alábbi ábrák mintájára:

1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 és így tovább ...

20