Page 18 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

Megoldás
A feladat az előző feladat megfordításának tekinthető. Az előbb tudtuk az elhelyezendő
elemek számát, és kerestük, hogy egy skatulyába hány elem kerül. Most azt tudjuk, hogy
létezik legalább egy olyan skatulya, amelyben biztosan van 3 elem. Keressük azt a minimális
elemszámot, amely mellett ez már biztosan lehetséges. A megoldás során az évet 366
naposnak kell vennünk, a szökőnap miatt. Ezért a feladatra a válasz: 366  2 + 1 = 733 (szintén
az első változatot alkalmaztuk). Ennél kevesebb tanuló esetén nem biztos, hogy teljesül a
feladat feltétele.
5. feladat
Mutassuk ki, hogy öt darab 10-nél nagyobb prímszám közül mindig kiválasztható kettő,
amelyek különbsége osztható 10-zel.
Bizonyítás
A prímszámok végződései csak 1, 3, 7, vagy 9 lehetnek. Mivel csak négyféle végződés
és öt prímszám van, ezért létezik kettő, amelyik ugyanarra a számjegyre végződik, tehát a
különbségük osztható 10-zel.
6. feladat
Két villanyoszlop közötti távolság 50 m. A közöttük kifeszített vezetékre 26 fecske száll.
Mutassuk ki, hogy mindig van legalább két fecske, melyeknek egymástól mért távolsága nem
nagyobb 2 m-nél.
Bizonyítás
Osszuk fel az oszlopok közötti huzalt 2 m-es szakaszokra, ezek lesznek a skatulyák (25
skatulya van). Mivel 26 fecske száll a vezetékre, lesz olyan skatulya (2 m-es vezetékdarab),
amelyre két fecske jut, és így a közöttük levő távolság nem nagyobb 2 m-nél.
7. feladat
Egy kőbányából 50 kőtömböt kellett elszállítani. Ezek tömege rendre: 370, 372, 374,…,
466 kg. Rendelkezésünkre áll 7 teherautó, ezek mindegyike 3 tonnát képes szállítani. El lehet-
e szállítani a köveket?
Bizonyítás
Nézzük a kőtömbök össztömegét:
370 + 372 + 374 + … + 466 =
= 370 + (370 + 2) + (370 + 4) + … + (370 + 98) =
= 50 × 370 + 2 × (1 + 2 + 3 + … + 49) = 20950
Első ránézésre úgy tűnik, hogy elszállítható, hiszen 20950 < 21 000, de a kőtömbök
tömegei 2 kg-mal változnak. Ha homok lenne, biztosan elszállítható lenne!
Mivel 50 kőtömb van és 7 teherautó, a skatulyaelv alapján 50 = 7 × 7 + 1 miatt éppen 8
fuvar szükséges, és a legkisebb nyolc kőtömb össztömege:
370 + 372 + 374 + 376 + 378 + 380 + 382 + 384 = 3016 kg > 3000 kg,
vagyis nem férne fel a 3000 kg-os teherbírású teherautóra.

18