Page 19 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

5. Induktív bizonyítási módszerek

A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével
valamely osztályon belül az egyes esetekből az általánosra következtetünk.
A gondolkodás irányát illetően az indukció és a dedukció ellentétes irányú bizonyítási
módszerek. Az indukció a megfigyelt tényekről törvényekre „emelkedik föl”. Más szóval az
indukció a megfigyelések mögött szabályszerűséget és összefüggést tár fel. Legfontosabb
segédeszközei: az általánosítás, a specializálás és az analógia.
Az indukciót különböző szempontok szerint osztályozzuk, így különböző típusú induk-
cióról beszélünk. Legtöbb esetben megkülönböztetjük:
a) a nem teljes, parciális vagy részleges indukciót,
b) a teljes indukciót,
c) a matematikai indukciót (v.ö. [14]).
A parciális indukció az a módszer, amely során az általános szabályszerűséget csupán
néhány megfigyelés után próbáljuk levonni. Ez a módszer gyerekes és kockázatos, hiszen vég-
telen halmazok esetén – ha a lényeges jegyeket ragadtuk meg és így általánosítottunk – legfel-
jebb megsejthetjük a szabályszerűséget, ezt azonban a matematikára jellemző precíz dedukció-
val bizonyítanunk kell.
Olyan esetekben, amikor a lényegtelen (nem jellemző) tulajdonságok alapján általánosí-
tottunk, leggyakrabban hamis következtetésekhez jutunk. Ilyenkor az ellenpéldával történő
cáfolás módszerével bizonyíthatunk.
A teljes indukció módszerén azt a következtetési módot értjük, amely során az adott
szituációban előforduló minden egyes eset, illetve minden egyes rész megvizsgálása alapján
mondunk ki állításokat. Az így nyert állítások – mivel minden esetet megvizsgáltunk – bizo-
nyítottnak tekinthetők.
Ilyen következtetési módot lehet alkalmazni, ha egy véges halmaz elemeire vonatkozó
állítás igazságát akarjuk belátni.
Ha a vizsgált halmaz végtelen, de véges sok, egymástól független részre bontható, akkor
e részek vizsgálása is elegendő a teljes halmazra vonatkozó állítás igazolásához. (v.ö. [1].)
A bemutatásra kerülő feladatot az idézett rész szerint fogjuk bizonyítani.
A matematikai indukció módszere vitathatatlan bizonyítási módszer, mely a középiskolai
algebrakönyvekben megtalálható. Ennek bemutatása azonban meghaladná az V–VIII. osz-
tályos tananyagot.
Pólya György az „indukció”, „teljes indukció” és „matematikai indukció” kapcsán meg-
jegyzi (v.ö. [11]), hogy szerencsétlen dolog a fenti elnevezések kapcsolódása, mert a három-
féle logikai módszer között nagyon csekély a kapcsolat. Elsősorban azért, mert az utóbbi in-
dukció esetén olyan logikai elvek szerint bizonyítunk, amelyek megengedik az általános eset
véges sok partikuláris esetére való felbontását. A matematikai indukció pedig azért deduktív,
mert tulajdonképpen axiómaként szerepel a Péano-féle axiómarendszerben.
Pólya György találóan szögezi le az előbbi szóhasználat lényegét: gyakorlati kapcsolat
van közöttük, mert sokszor egy összefüggés megsejtése induktív, míg az igazolása deduktív
módszerrel történik.
A leírtak szellemében mutatjuk be a következő feladatot, amelynek megoldási módszere
egyszerre induktív és deduktív.
1. feladat
Ki lehet-e fizetni 1997 tallért csupán 3 és 5 talléros pénzérmék segítségével? Ugyanez a
kérdés 1997 helyett tetszőleges n  8 pozitív egész szám esetén is.

19