Page 16 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

4. Indirekt bizonyítási módszerek

Az indirekt bizonyítás az állítás helyes voltát igazolja azzal, hogy bebizonyítja az ellen-
tétes állítás hamis voltát.
A módszer lényege: legyen A a bizonyítandó állítás. Tegyük fel, hogy A nem igaz. Erre
támaszkodunk, és korrekt matematikai okoskodással (következtetéssel) ellentmondáshoz
jutunk. Így tehát az egész okoskodásunk hamis volt, vagyis el kell fogadnunk az A állítás
helyes voltát.
Módszertanilag is érdekes felismerni, hogy az indirekt bizonyítás során mivel vezetjük
ellentmondáshoz a bizonyítandó állítást. Ezek a következők lehetnek:
1. kiinduló feltevésünkkel,
2. valamilyen ismert eredménnyel (tétellel),
3. axiómával.
A továbbiakban az indirekt módszerekre térünk ki.

4.1. A lehetetlenre való visszavezetés (reductio ad absurdum) módszere
Ez a módszer úgy mutatja meg egy állítás helytelen voltát, hogy abból valami nyilván-
való képtelenséget vezet le.
Az ellentmondásra való visszavezetés módszere azon az elven alapul, hogy két egymás-
nak ellentmondó állítás közül minden esetben az egyik hamis, a másik igaz.
A módszer lényege az, hogy tagadjuk a feladat állítását, és ebből kiindulva olyan állítá-
sokat vezetünk le, amelyek a feladat adatainak vagy valamilyen más igaz állításnak ellent-
mondanak. Gyakorlatilag azt feltételezzük, hogy amit bizonyítanunk kell, az nem igaz. Ezután
e feltételezésből kiindulva olyan logikai következtetéseket végzünk, amelyek kiemelik, hogy
feltételezésünk abszurdumhoz vezet. Tehát feltevésünk nem igaz, ezért az ellenkezője, vagyis
a feladat következtetése igaz.
Találóan írja Pólya György, hogy az indirekt bizonyítás és a lehetetlenre való visszave-
zetés elsősorban szemléletmódjában különbözik egymástól. Az ilyen bizonyítások egymásba
átfogalmazhatók. (v.ö. [1].)
A szóban forgó módszert a következő feladattal szemléltetjük.
1. feladat
Egy versenyen 3 diák vett részt, nekik 10 kérdésre kell felelniük, minden helyes feleletért
10 pont jár, és minden hibásért 5 pontot levonnak. Tudva azt, hogy a versenyzők összesen 240
pontot kaptak, és hogy a második versenyzőnek hárommal több helyes válasza volt, mint az
elsőnek, határozzuk meg, hogy az egyes versenyzőknek hány helyes feleletük volt.
Megoldás
A három versenyző összesen legfeljebb 3 · 10 · 10 = 300 pontot kaphatott.
Feltételezzük, hogy a második versenyző nem minden kérdésre válaszolt helyesen. Ekkor
az első versenyző legalább négy kérdésnél hibázott, és így a három versenyző összesen
legalább (1 + 4) · (10 + 5) = 75 ponttal kapott volna kevesebbet, mint abban az esetben, ha
minden kérdésre helyesen válaszoltak volna, vagyis legfeljebb 300 – 75 = 225 pontot összesít-
hettek volna. Ez ellentmondás. Tehát a második versenyző minden kérdésre helyesen vála-
szolt, és 10 · 10 = 100 pontot kapott. Az első versenyző 7 kérdésre válaszolt helyesen, és így
7 · 10 – 5 · 3 = 55 pontot kapott. A harmadik 240 – 100 – 55 = 85 pontot ért el. Ez 15 ponttal
kevesebb az általa elérhető maximális pontszámnál, ami azt jelenti, hogy egy kérdést hibázott
el, így 9 helyes válasza volt.
Ezzel megoldottuk a feladatot.

16