Page 13 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

3. Direkt bizonyítási módszerek

Olyan esetben, amikor egy feladat bizonyítása (megoldása) során az előzményekből az
állítás közvetlenül következik, direkt bizonyításról beszélünk.
Anélkül, hogy kitérnénk a logikai sémák bemutatására és formális alkalmazására, a követ-
kezőkben aritmetikai feladatokon szemléltetve két fontos bizonyítási módszert mutatunk be.
3.1. A szintetikus (progresszív) módszer
A módszert röviden szintézisnek is nevezik. A szintézis olyan eljárás, amelynek alkalma-
zásakor az okról a következményekre térünk át.
E bizonyítás lényege: a feltételekből (premisszákból), adatokból és olyan ismert eredmé-
nyekből, definíciókból, axiómákból indulunk ki, amelyekből logikailag megalapozott lépések-
kel eljutunk a következményhez (az állításhoz vagy konklúzióhoz). Ha az így nyert K 1 követ-
kezmény azonos a kiindulási feladat állításával, a bizonyítás véget ért. Ha nem, akkor K 1 -et
tekintjük kiindulásnak, és az előbbi módon egy K 2 következményhez jutunk. Az eljárást addig
folytatjuk, amíg el nem jutunk egy olyan K n következményhez, amely megegyezik a bizo-
nyítandó állítással.
A meghatározó feladatok megoldásakor is az előzőek szerint járunk el, de esetükben az
adatokból levezetett következménylánccal addig haladunk, amíg meghatározzuk a feladat
ismeretlenjeit.
A szintetikus módszer lényegét a következő feladaton szemléltetjük:
1. feladat
Egy gazda ősszel egyik kertjéből 1278 kg burgonyát, egy másikból pedig 356 kg-mal
kevesebbet gyűjtött be. A burgonya egy részét kilónként 800 tallérért eladta. Így a bevétele
320 000 tallér volt. A megmaradt burgonyamennyiség egyharmadát egyenlően osztotta szét a
három fia között. Hány kg burgonyát kaptak a fiúk külön-külön?
Szintetikus megoldás. A megoldás a következő lépésekben történik:
a) A második kertből begyűjtött burgonyamennyiség:
1278 – 356 = 922 (kg).
b) A két kertből begyűjtött burgonya mennyisége:
1278 + 922 = 2200 (kg).
c) Az eladott burgonya mennyisége:
320 000 : 800 = 400 (kg).
d) A gazdának maradt burgonya mennyisége:
2200 – 400 = 1800 (kg).
e) A fiainak szétosztott burgonya mennyisége:
1800 : 3 = 600 (kg).
f) Az egy fiúnak jutó burgonya mennyisége:
600 : 3 = 200 (kg).
Ezzel megkaptuk a megoldás logikai menetét (gondolatmenetét) is. Műveletsor formájában:
{[1278 + (1278 – 356) – (320 000 : 800)] : 3} : 3 = 200.
A szintetikus módszernek számos előnye és hátránya van. Előnye, hogy a bizonyítás
(megoldás) logikai szempontból kifogástalan, a gondolatmenet tömör és szabatos. Hátrányai
közé tartozik, hogy a kiindulási feltétel megválasztása gyakran mesterkéltnek tűnik. Nagy a
távolság a kiindulási lépés és a konklúzió, illetve a végeredmény között, így a közöttük lévő
kapcsolatok észrevétele nehezebb.

13