Page 58 - vol2

bizonyítandó egyenlőtlenség adódik.

9. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c pozitív valós számok, akkor
1 + 1 + 1  1  b + 1  c + 1  a
a 3 b 3 c 3 a 3 a b 3 b c 3 c

 1 1 1 
Bizonyítás: alkalmazzuk a rendezési tételt az  ; ;  és
 a 3 a b 3 b c 3 c 

( a ; b ; ) c ellentétesen rendezett sorozatokra! Ekkor felírható, hogy
1  b + 1  c + 1  a = 1  b + 1  c + 1  a 
a 3 a b 3 b c 3 c a 3 a b 3 b c 3 c
1 1 1 1 1 1
  a +  b +  c = + + .
a 3 a b 3 b c 3 c a 3 b 3 c 3
10. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c pozitív valós számok, akkor
a + b + c  3
+
+
+
b c c a a b 2 .
 1 1 1 
Bizonyítás: alkalmazzuk a rendezési tételt az  ; ;  és
+
b c c a a b  +
+ 
( a ; b ; ) c azonosan rendezett sorozatokra! Ekkor felírható, hogy:
a + b + c  a + b + c (1) és
+
+
+
+
+
+
b c c a a b c a a b b c

a + b + c  a + b + c (2). Ha most összeadjuk
+
+
+
+
+
+
b c c a a b a b b c c a
az (1) és (2) megfelelő oldalait azt kapjuk, hogy
 a b c  c + a a + b b + c
2  + +   + + . És ha most
 
+
+
+
+
+
+
 b c c a a b  c a a b b c
y
alkalmazzuk, hogy x + y  x + akkor éppen a bizonyítandó
egyenlőtlenséget kapjuk, ahol nem állhat fenn egyenlőség.
11. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c pozitív valós számok, akkor
+
3
3
+
a + b + c 3  a b c
a + 2 b + 2 c 2 3 .

58