Page 59 - vol2

Bizonyítás: Az egyenlőtlenséget átalakítva azt kapjuk, hogy
2
+
2
+
2(a + b + c 3 ) a b ab + b c bc + c a ca . Ez indokolttá teszi az
2
3
2
+
2

3
2
(a 2 ,b 2 ,c 2 ) és ( , , )a b c azonosan rendezett sorozatok választását. Így a
rendezési tétel alapján felírható, hogy:
2
+
+
2
+
3
3
2
2
3
3
+
2
a + b + c  a b b c c a és a + b + c  a c b a c b .
3
2
3
Ha most összegezzük a két egyenlőtlenség megfelelő oldalait, éppen a
bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk.
Befejezésül az érdeklődő Olvasónak a következő feladatok megoldását
javasoljuk: pozitív valós számok esetén bizonyítsuk a következő
egyenlőtlenségeket
1 1 1 1 1 1
(1) xy + yz + zx  x yz + y zx + z xy (2) + +  + +
x y z xy yz zx
+
+
a 2 b 2 c 2 a b c
(3) + + 
+
+
+
b c c a a b 2
2
2
a + b 2 b + c 2 c + a 2 a 3 b 3 c 3
2
(4) a b c+ +  + +  + +
2c 2a 2b bc ca ab
+
3

3
+
4
(5) a + b + c  a 2 bc b 2 ca + c 2 ab (6) abc (a b c ) a + b + c
4
4
+
3
z x 1  x y   y z  
(7) Ha 0 x  y z akkor +   +  +  +  

x z 2  y x    z x  

(8) Ha 0 x  y z és m x= 5 + y + z , M = x z + y + x z akkor
5
2 3
3 2
5
5
3 2
3 2
3 2
3 2
(i) m x y 3 2 + y z + z x  M , (ii) m z y + y x + x z  M
3 2

(9) Ha , ,x y z  és A x y= 3 + y y z x , B x z + y x z y akkor
3
3
+
3
3
=
3
+
0
3

x + y + z  max  ,A B (10) Ha x , ,z  és C = xy 3 + yz 3 + z x ,
4
4
4
0
y
z x y
3
3
3
x y y z z x
D = + + akkor min  ,C D  3xyz .
z x y

59