Page 56 - vol2

x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2
y
z
y
(i) + +  x + + z illetve (ii) + +  x + + . Indokolttá
y z x z x y
 1 1 1 
2
2
2
)
,
válik az ( ,x y z és  , ,  ellentétes elrendezésű számhármasok
 x y z 
választása. Ha most alkalmazzuk az (A2) egyenlőtlenséget, ennek alapján
felírhatók:
x 2 1 + y 2 1 + z 2 1  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 , x 2 1 + y 2 1 + z 2 1  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1
x y z y z x x y z z x y
amelyek éppen a bizonyítandó egyenlőtlenségek.
5. Igazoljuk, hogy ha 0 x  y z , akkor


 z y 2 x   x y   y z   z x   x 2 y 2 z 
2
+

2  + +   +   +   + +   2  + + 
 y zx y   y x   z y   x z   yz zx xy 
 1 1 1 
2
2
2
)
,
Bizonyítás: Az ( ,x y z és  , ,  azonos rendezésű számhármasokra
 yz xz xy 
alkalmazzuk az (A1) és (A2) egyenlőtlenségeket. Ezek alapján felírhatók, hogy
y z x x y z
min S  + +  max S (1) és min S  + +  max S (2) ahol
x y z y z x
z y 2 x x 2 y 2 z 2
min S = + + és max S = + + . Ha most összegezzük az (1) és
y zx y yz zx xy
(2) egyenlőtlenséget, éppen a feladatot bizonyítottuk.
x + 8 y + 8 z 8 1 1 1
0
6. Ha , ,x y z  , akkor  + + (Kvant)
3 3 3
x y z x y z
Bizonyítás: A feladat egyenlőtlensége még így írható fel:

1 1 1
5
x + y + z  + + . Ezért indokolt a következő választás.
5
5
x y z
)
5
5
5
,
,
Alkalmazzuk az (A2) egyenlőtlenségeket az ( x y z és a   1 , 1 , 3 3  1 
3 3
3 3
 y z z x x y 
azonos rendezésű számhalmazokra. Ennek alapján azt kapjuk, hogy

56