Page 60 - vol2

7. Egyenlőtlenségek bizonyítása érintő módszerrel

A matematikában az egyenlőtlenségek bizonyítására rendkívül sok
általános es speciális módszerünk van. Mégis, ennek ellenére is,
folyamatosan szükség van újabb es újabb bizonyitasi módszerekre,
ugyanis mindig akadnak olyan egyenlőtlenségek, amelyek a meglevő
klasszikus vagy speciális módszerekkel nem bizonyíthatók.

Éppen ebből kifolyólag, a továbbiakban egy aránylag új és
mondhatni ritka, de mégis rendkívül hatékony módszer mutatunk be, az
érintő módszerét.

Ennek a módszernek a gyökerei a konvex függvény tanba nyúlnak
vissza, éppen ezért röviden megemlítünk néhány fogalmat, ami a konvex
függvény tanhoz tartozik.

A bemutatásra kerülő érintő módszerrel a következő típusú
feladatokat tudjuk megoldani:

„Ha a , ,c pozitív valós számok amelyekre a b c+ + = 3s =
b
=állandó, akkor bizonyítsuk be, hogy

a b c  +  +
( ) a + f ( ) b + f ( ) 3c  f   (*), ahol : f R →
R
f
 3 
valamilyen konkrétan megadott függvény.”
(természetesen nem csak 3 változóra működik, továbbá fordított irányú
egyenlőtlenségeket is lehet bizonyitani)

Ebből máris azonnal eszünkbe juthat, hogy az előbbi (*)
egyenlőtlenség, nem más, mint a konvex függvényekre felirt Jensen-féle
egyenlőtlenség. Csak persze itt, szó sem esett az f függvény
konvexitásáról.

Ha mar említést tettünk a konvex függvényekről, nézzünk egy
feladatot.

60