Page 52 - vol2

5. Egyenlőtlenségek bizonyítása rendezési módszerrel

Egyenlőtlenségek szerkesztésére és bizonyítására beláthatatlanul
sok klasszikus, általános vagy speciális módszer áll a rendelkezésünkre.

Ebben a paragrafusban olyan egyenlőtlenségek szerkesztéséről és
bizonyításáról lesz szó, amelyek összegekre vonatkoznak, és az összeg
tagjainak a permutálásával foglalkozunk.

A továbbiakban szükségünk lesz a következő fogalmakra:

2
Adott n  pozitív egész szám esetén az ( ,a a 2 ,...,a n ) és
1
( , ,...,b b 2 b n ) valós számokból álló szám n-eseket
1
(i) azonos rendezésűnek nevezzük, ha

a  a  ... a és b  b  ... b vagy a  a  ... a és b  b  ... b



2
n
1
2
n
1
2
n
2
1
n
1
(ii) ellentétes rendezésűnek nevezzük, ha



a  a  ... a és b  b  ... b vagy a  a  ... a és b  b  ... b .

2
1
n
n
n
n
1
2
1
2
2
1
RENDEZÉSI TÉTEL: Legyen , ,...,i i 2 i az 1,2,...,n számok egy permutációja, és
n
1
S = a b + a b + ... a b bármely n  esetén.
+
2
2 i
2
n i
1
1 i
n
a) Ha ( ,a a 2 ,...,a n ) és ( , ,...,b b 2 b n ) azonos rendezésűek, akkor
1
1
(A1) a b + a b 1 + ... a b  S  a b + a b + ... a b (A2)
+
+
1 n
n n
2 2
2 n−
1 1
1
n
(b) Ha ( ,a a 2 ,...,a n ) és ( , ,...,b b 2 b n ) azonos rendezésűek, akkor
1
1
+
+
(E1) a b + a b 1 + ... a b  S  a b + a b + ... a b (E2)
2 n−
n n
n
1 1
1
2 2
1 n
Bizonyítás: Ha az S-ben van olyan a b és a b tag amelyekre p q és
p i
q i
q
p
i  , akkor az azonos rendezés miatt (a − a q )(b − b p i ) 0 , ahonnan

i
p
q i
q
p
a b + a b  a b + a b (*)
q
p
p i
q i
p i
q
p
q i

52