Page 231 - vol2

1. megoldás végső gondolatmenete alapján azonnal adódik, hogy
a
lim n = 2 .
n→ b n

7. megoldás: Az (1) és (2) alatti rekurziós egyenletrendszert ezúttal
mátrixokkal oldjuk meg. Mivel a n+ 1 = a + n 2b és b n+ 1 = a + n b ezért
n
n
 a   1 2   a   a   1 2
mátrixokkal  n+ 1   =   n  és ha X =  n  valamint A =  
n
 b n+ 1   1 1   b n   b n   1 1 
akkor X n+ 1 = AX és ennek az összefüggésnek az ismételt alkalmazásával
n
1  
n
azt kapjuk, hogy X = A X ahol X =   . Most kiszámítjuk az A
n
1
1
n
 1 
 a b 
mátrixhatványt. Ismert tény, hogy adott A =   mátrix
 c d 
−
2
+
karakterisztikus egyenlete A − (a x )A+ (ad bc )I = O (Cayley-
2
2
2
Hamilton összefüggés). A mi esetünkben ez A − 2A I = O így a
−
2
2
numerikus karakterisztikus egyenlet r − 2r − 1 0 ahonnan r = 1,2 1  2 ,
=
2
ezért A = (1+ 2) B + (1− 2) C. Most a kezdetértéki feltételek alapján,
n
n
n
 1 0
0
+
ha rendre n=0 illetve n=1, akkor felírható, hogy   = A = B C illetve
 0 1 
 1 2 1
  = A = (1+ 2)B + (1− 2)C . Ha most megoldjuk ez utóbbi
 1 1 
 1 1 
 2 2 
egyenletrendszert azt kapjuk, hogy B =   és
 1 1 
 
 2 2 2 
 1 1   1 1   1 1 
 2 − 2   2 2   2 − 2 
n
C =   , A = (1+ 2)   + (1− 2)  
n
n
 1 1   1 1   1 1 
 −     − 
 2 2 2   2 2 2   2 2 2 
 x  1  
ahonnan az  n  = A n   alapján azt kapjuk, hogy
 y n   1 

231