Page 235 - vol2

Vegyük észre, hogy a bizonyításainknak úgymond
„melléktermékeiként” azt is megkaptuk, hogy
1  n n 
a = 1 2C + 2 C + 2 C + ... = ( 1+ 2 ) ( 1+ − ) 2 , n   valamint
+
3
2
6
2
4
n
n
2  n n   
1  n n 
2
5
3
1
b = C + 2C + 2 C + ... = ( 1+ 2 ) ( 1− − ) 2 , n   esetén.
n
n
2 2  n n   
1 2C + 2 C + 2 C + ... a
+
4
3
6
2
2
Továbbá lim n n n = lim n = 2 .
1
5
2
3
n→ C + 2C + 2 C + ... n→ b n
n
n
n
Ugyanakkor figyeljünk fel arra is, hogy a bemutatott 11 megoldás
nem csak az (1+ 2) = a + b n 2 kifejezés sajátossága miatt volt
n
n
lehetséges, ugyanis mindegyik megoldás kivitelezhető az
+
(a b ) c n = x + y n c általánosabb alakú kifejezés esetén is, ahol
n
, a b  + és c  négyzetszámmentes pozitív egész szám, és
x
bizonyítható, hogy lim n = c .
n→ y n
Befejezésül megjegyezném, hogy a dolgozat célja nem csupán
minél több megoldási módszer felsorakoztatása volt, hanem az is, hogy
egyúttal rávilágítsunk minél több megoldási módszer előnyeire és
hátrányaira, hatékonyságáaira és korlátaira, valamint az egyes módszerek
közötti kapcsolatokra. Ezáltal az érdeklődő Olvasó nem csupán egy
feladattal és annak megoldásával ismerkedhetett meg, hanem eljárások
és módszerek sokaságával, amelyeket más keretek között is sikeresen
alkalmazhat.

235