Page 226 - vol2

12. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,

1  k 

amelyekre X 2023 =   ahol k  rögzített.
 0 k + 1 
 1 k  a b   a b  1 k 
Megoldás: az AX = XA       
=
 0 k + 1  c d   c d  0 k + 1 
+
d
kommutativítás alapján azt kapjuk, hogy c = 0,a b = ezért
 a b 
X =   és indukcióval könnyen igazolható, hogy
+
 0 a b 
 a n (a b − ) n 1  a 2023 (a b ) 2023 − 1  1 k 
+
+
X =  n  ezért az   =  
 n   2023  0 k + 1
+
+
 0 (a b )   0 (a b )   
+
egyenletből az következik, hogy a = 1,k = (b+ 1) 2023 − 1 =  2023 k + 1 1.
b
Befejezésül hadd említsük meg, hogy az első módszer főleg akkor

alkalmazható, amikor az X = egyenletben n 2,3,4 vagy az
n
A
aX + bX + cI = egyenlet esetén, de más n esetén, csak akkor, ha
2
A
2
0
det A = A második módszer alkalmazható akármilyen n esetén, csak ne
legyen A kI= 2 mert ekkor a kommutativítás nem vezet eredményre.
13. feladat: Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan X  M 2 ( )
n
mátrix létezik, amelyekre X = I , ahol n  3,n rögzített.
2
 2k  2k  
 cos − sin 
 1
Megoldás: Ha X = A =  n n  ,k  0,2,...,n − akkor
 2k  2k  
 sin cos 
 n n 

 cos2k  − sin 2k   1 0
A = k n     vagyis X = A megoldása az
=
k
 sin 2k  cos2k    0 1 
egyenletnek. Ekkor vegyük észre, hogy bámely P M 2 ( ) invertálható

226