Page 227 - vol2

−
1
mátrix esetén, az X = P A P mátrix megoldása az egyenletnek.
P
k
)
)(
−
−
−
−
−
n
n
1
1
1
1
1
Valóban: X = ( P A P P A P ) ( P A P = P A P = P I P = I .
...
k
k
P
k
k
2
2
−
n szer
Vegyük észre, hogy minden n  3,n esetén létezik k  0,2,...,n −  1
−
amelyre A  mI , mert ellenkező esetben X = P P A P mI lenne.
=
1
2
k
2
k
n
Érdekes megállapítani, hogy az X = I egyenlet összes megoldása
2
−
1
X = P A P , ellenben ennek a bizonyítása meghaladja a középiskolai
P
k
szintet, ezért mellőztük.
A bemutatottak jobb elmélyítése végett, az érdeklődő Olvasónak
javasoljuk a következő feladatok megoldását:
−  1 − 2  0 1  1 2  4 6 
2
n
1) X =   , 2) X =   3) X =   4) X =  
n
4
 1 2   0 0   3 4   8 12 
 1 −  3  0 1  2 − 1 −  3 − 1
6
8
5) X =   6) X =   7) X =   8) X =  
2
5
 3 7a   1 0   4 − 2   6 2 
 2 3  0 − 1  1 2
n
9) X 2007 =   10) X 2021 =   11) X =   12)
 4 6   1 0   0 1 
 1 2021  34 162  1 − 1
X =   13) X + 5 X =   14) X + n X n− 2 =   .
n
 1 2022   1 34   − 1 1 

227