Page 229 - vol2

 a  a
lim  n − 2 =  0 , azaz lim n = 2 .
n→  b n  n→ b n

n
n
2. megoldás: Mivel (1+ 2) = a + b n 2 , ezért (1− 2) = a − b n 2
n
n
−
a (1− 2) n a ( 1) n
ahonnan n − 2 = vagyis n − 2 = . És mivel
b n b n b n b n (1+ 2) n
n
b →  továbbá (1+ 2) → ezért azonnal következik, hogy
n
a n − 2 → 0 vagyis lim a n = 2 .
b n n→ b n
n
n
3. megoldás: Mivel (1+ 2) = a + b n 2 és (1− 2) = a − b n 2 , ezért
n
n
 a  2 ( 1) n
−
2
2
n
−
összeszorozva azt kapjuk, hogy a − 2b = ( 1) vagyis  n  − 2 = 2
n
n
 b n  b n
 a  2 a
és mivel b →  , ezért  n  − 2 → 0 vagyis lim n = 2 .
n
 b n  n→ b n
A (*) összefüggések láttán azonnal felmerülhet az a kérdés, hogy
vajon nincs-e valamilyen zárt kifejezés a (*) alatti összegekre? Erre a
válasz igenlő. Tehát nézzük csak:
n
n
4. megoldás: Mivel (1+ 2) = a + b n 2 és (1− 2) = a − b n 2 , ezért
n
n
megoldva mint egyenletrendszert a és b tagokkal azt kapjuk, hogy
n
n
1  n n  1  n n 
a = ( 1+ 2 ) ( 1+ − ) 2 illetve b = ( 1+ 2 ) ( 1− − 2 ) . Így
2  n    n 2 2    
most már nekiláthatunk a következő határérték kiszámolásának:
 1− 2  n
n n 1+  
a ( 1+ 2 ) ( 1+ − ) 2  1+ 2 
L = lim n = lim 2 = 2 lim
n
n→ b n n→ ( 1+ 2 ) ( 1− − n n→  1− 2  n
) 2
1−  
 1+ 2 
 1 − 2 n   ( 1−  2 )( 1+ ) 2   n ( 1) n
−
És mivel   = = → 0 , ezért L = 2 .
   2  2n
 1+ 2   ( 1+ ) 2  ( 1+ ) 2
 

229