Page 228 - vol2

26. Egy határérték feladat 11 megoldással

Különböző szakfolyóiratokban, könyvekben, matematika
fórumokon népszerűvé vált a következő feladat:

a
„Ha (1+ 2) = a + b 2 , akkor számítsuk ki a lim n határértéket!”
n
n
n
n→ b n
A feladat azért is szimpatikus, mert roppant egyszerű, semmi
mesterkélés nincs benne. Noha rövid megfogalmazású, első látásra
mégsem tűnik nagyon egyszerűnek, inkább kemény diónak néz ki. Főleg
azért, mert semmi információnk nincsen az a és b sorozatok
n
n
mibenlétéről.
Az (1+ 2) láttán leghamarabb talán a Newton binomiális képlet
n
juthat eszünkbe, ami alapján azonnal adódik, hogy

2
3
1
2
5
4
2
6
3
a = 1 2C + 2 C + 2 C + és b = C + 2C + 2 C + (*)
+
...
...
n
n
n
n
n
n
n
n
2
6
4
3
2
+
a 1 2C + 2 C + 2 C + ...
De azonnal látszik, hogy a lim n = lim n n n
2
5
1
3
n→ b n n→ C + 2C + 2 C + ...
n
n
n
információval nem jutunk messzire, mivel ez utóbbi határérték
kiszámolása egyáltalán nem könnyű, talán egyenesen lehetetlen, mert
látni fogjuk, hogy a határérték egy irracionális szám.
Mindenesetre, annyi látszik, hogy a →  és b →  ha n →  . Ez
n
n
már elég is ahhoz, hogy bemutassunk három megoldást.
n
1. megoldás: Mivel (1+ 2) = a + b n 2 , ezért ugyanazon Newton
n
binomiális képlete alapján nyilvánvaló, hogy (1− 2) = a − b n 2 . És mivel
n
n
1 − 2  1 ezért lim(1 − 2) = n 0 tehát lim a − ( n b n ) 2 = 0 vagyis
n→ n→
 a 
limb n  n − 2 =  0 . De mivel b →  , ez utóbbi határérték csak akkor
n→  b n  n
lehet véges, ha  0  határozatlan esetről van szó, tehát föltétlen

228