Page 234 - vol2

7
c = 1 = c miatt c  c is azonnal adódik. Így hát a monotonítás
1
5 3 2n − 1 2n + 1
és a korlátosság végett létezik a = lim c ,b = lim c és
n→ 2n n→ 2n− 1
b + 2 a + 2
a = ,b = ahonnan a b= = 2 adódik, ami azt jelenti, hogy
b + 1 a + 1

a
lim c = 2  lim n = 2 .
n→ n n→ b n

10. megoldás: Vizsgáljuk meg a c n+ 1 − 2 különbséget. Rendre felírható:

−
−
+
c + 2 (2 − 2) ( 2 1)c 2(1− 2) (2 − 2)c
c − 2 = n − 2 = n = n =
c + n+ 1 n 1 c + n 1 ( 2 c + ) 1
n
(2 − 2) c − 2
= n  (2 − 2) c − , vagyis c − 2  (2 − 2) c − 2 ,
2
2(c + 1) n n+ 1 n
n
 n   . Ezt most ismételten alkalmazva azt kapjuk, hogy
)(
c − 2  ( 2 − 2 ) n − 1 c − 2 = ( 2 1 2 − 2 ) n − 1 . És mivel ( 2 − 2 ) n− 1
−
1
n
tetszőlegesen kicsi lehet, ha n tetszőlegesen nagy, ezért az  − os
a
konvergencia tétel alapján lim c = 2  lim n = 2 .
n→ n n→ b n

11. megoldás: A továbbiakban a kontrakció elvét, és a Banach-féle fixpont
x + 2
c
tételt alkalmazzuk. Mivel c n+ 1 = f ( ) , c = 1, ahol f ( ) = x + 1 ,
x
1
n
1 1
 ) →
x
f : 1,2 és f '( ) =   1 hiszen x  ezért f kontrakció,
1
+
+
(1 x ) 2 4
1
azaz f ( ) − f ( )  x − , y  , x y  1 , tehát létezik egyetlen olyan c érték,
y
x
4
c + 2
amelyre c = f ( ) vagyis c = lim c és = c ahonnan c = 2 . Tehát
c
n→ n c + 1
a
lim c = 2  lim n = 2 .
n→ n n→ b n

234