Page 221 - vol2

 4 0
2
(det X ) = det    d = det X =  és ha t = TrX akkor a
4
 0 4 
2

karakterisztikus egyenlet alapján X − t X + 4I = O 
2
2
8  8  2
4I − t X  4I = O  X = I tehát   = 4  =  így

t
4
2
2
2
t 2 t  
X =  2I és ez valóban talál is az eredeti egyenletbe.
2
II.) Az AX = XA kommutálási módszere
Ez a módszer egy különösen egyszerű megállapításon alakpszik:
n
mivel rögzített n  esetén megoldandó egy X = alakú egyenlet,
A
ezért ezt szorozzuk meg balról is majd jobbról is az X ismeretlen mátrixal.
Ekkor azt kapjuk, hogy X n+ 1 = XA illetve X n+ 1 = AX és innen arra
következtetünk, hogy az ismeretlen X mátrix kommutál az A mátrixal,
vagyis AX = XA. A további megoldások során ezt fogjuk lényegesen
 a b 
kihasználni, ugyanis ha feltételezzük, hogy X =   akkor felírva az
 c d 
AX = XA kommutativítást, innen az X mátrix egy sajátosabb alakot ölt,
n
n
és ha így kiszámítjuk az X hatványt, akkor az X = egyenletből
A
c
meghatározhatjuk az a , , ,d számokat, így meghatározható az X
b
ismeretlen mátrix.
6. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,
 1 12
2
amelyekre X =  
 − 4 1 
Ez a feladat megegyezik az 1. feladattal, de azért oldjuk meg ezzel a módszerrel
is, hogy tudjuk összehasonlítani ugyanazon feladat megoldásán keresztül a két
módszer hatékonyságát.

 1 12 a b   a b  1 12
Megoldás: az AX = XA       
=
 − 4 1  c d   c d  − 4 1 
egyenlőségből azt kapjuk, hogy

−
+
a + 12c = − 4 ,b + 12d = 12a b , 4a c c − 4 , 4b d = 12c d amit
=
+
−
+
+
b
d
a

221