Page 222 - vol2

könnyűszerrel megoldva azt kapjuk, hogy a = , d b = − vagyis
3c
 a − 3c
X =   , ,c a . Innen azonnal adódik, hogy
 c a 

 a − 2 3c 2 − 6ac   1 12
2
2
X = 2  =    és az a − 3c = 1,2ac = − egyenlet
4
 2 2  − 4 1
 2ac a − 3c   
rendszert helyettesítéssel megoldva azt kapjuk, hogy a =  2,c = 1 ezért
 2 3
a két megoldás X =    .
 − 1 2 
7. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,
 0 − 1
amelyekre X 100 =  
 1 0 

Megoldás: Az X X 100 = X 101 = X 100  X kommutativitási tulajdonságot
alkalmazzuk.

 a b  b − a
Legyen X=   , így X 101 = X X 100 =   illetve X 101 = X 100  X=
 c d   d c − 
− c −  d 
  és az előző összefüggés alapján, a megfelelő helyen levő
 a b 
 a b
elemek egyenlők, így d= a és c= -b adódik, ezért X=   , így a
 − b a 
megoldandó egyenletben a két oldal determinánsát véve kapjuk, hogy

d 100 = (detX) 100 =det(X 100 )= 1, ahonnan d=  1, ellenben a, b R miatt
b
2
2
a +b = 1. Legyen a= cos x és b= sin x, ahol x= arctg . Induktív módon
a
 cos x sin x  100
könnyen igazolható, hogy X 100 =   =
 − sin x cos x 

 cos100x sin100x
  . Így a megoldandó egyenletünk
 − sin100x cos100x 

222