Page 224 - vol2

.

n  cost − sin t
igaz, hogy X =   sin t cos t  

 cost − sint a b   a b  cost − sint
=
Megoldás: az AX = XA        
 sint cost  c d   c d  sint cost 
 a −  c
egyenlőségből azt kapjuk, hogy a = , d b = − tehát X =   .
c
 c a 
 cost − sint
n
n
e
Ugyanakkor d t X = det    (det X ) = 1 det X =  1,
 sint cost 
 cos x − sin x
vagyis a + 2 c = 2 1 ezért létezik a = cos ,c = x sin x így X =   és
 sin x cos x 
 cosnx − sin nx
indukcióval már igazoltuk, hogy X =   , tehát
n
 sin nx cosnx 
 cosnx − sin nx  cost − sint
  =   ahonnan azt kapjuk, hogy nx t= + 2k
 sin nx cosnx   sint cost 
tehát a megoldások amelyek száma n, a következők:

 cos x − sin x  t + 2k
X =  k k  ,k = 0,n − 1,x = .
k
k
 sin x k cos x k  n
10. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,
 2 2008
amelyekre X 2007 + X =  
 0 2 
=
Megoldás: ezúttal is felírható, hogy X (X 2007 + X ) (X 2007 + X )X vagyis
 2 2008 a b   a b  2 2008
=
AX = XA        ahonnan azt kapjuk,
 0 2  c d   c d  0 2 
 a b
hogy c = 0,d = a ezért X =   és indukcióval igazolható, hogy
 0 b 

224